Es sei ${\displaystyle {}M\subseteq \mathbb {N} }$ ein numerisches Monoid. Zeige, dass der Singularitätsgrad von ${\displaystyle {}M}$ mit den beiden folgenden Zahlen übereinstimmt.

1. Die maximale Länge einer Kette von Monoiden

   ${\displaystyle {}M=M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \ldots \subset M_{n}=\mathbb {N} \,}$

2. Die maximale Länge einer Kette von ${\displaystyle {}K}$-Algebren

   ${\displaystyle {}K[M]=R_{0}\subset R_{1}\subset R_{2}\subset \ldots \subset R_{n}=K[T]\,.}$

3. Die maximale Länge einer Kette (einer Fahne) von ${\displaystyle {}K}$-Untervektorräumen

   ${\displaystyle {}K[M]=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \ldots \subset V_{n}=K[T]\,.}$