Beweis 1: Definition einer Norm

Dabei ist die Norm ${\displaystyle \|\cdot \|_{B}}$ bezüglich einer frei wählbaren Basis ${\displaystyle B=(b_{1},\ldots ,b_{n})}$ auf ${\displaystyle V}$ wie folgt definiert:

${\displaystyle \|v\|_{B}:=\max _{i\in \{1,...,n\}}|\lambda _{i}|}$

wobei ${\displaystyle (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\in \mathbb {K} ^{n}}$ der Koordinatenvektor von ${\displaystyle v}$ bezüglich der Basis ${\displaystyle B}$ ist, der für jedes ${\displaystyle v\in V}$ eindeutig bestimmt ist, d.h. es gilt

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot b_{i}}$,

Beweis 2: Abschätzung nach oben

Sei ${\displaystyle v\in V}$ beliebig gewählt, dann gilt unter Verwendung der Homogenität einer Norm und der Dreiecksungleichung:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|v\|&=&\left\|\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot b_{i}\right\|\\&\leq &\sum _{i=1}^{n}\left\|\lambda _{i}\cdot b_{i}\right\|=\sum _{i=1}^{n}|\lambda _{i}|\cdot \left\|b_{i}\right\|\\&\leq &\sum _{i=1}^{n}\|v\|_{B}\cdot \left\|b_{i}\right\|=\|v\|_{B}\cdot \underbrace {\sum _{i=1}^{n}\left\|b_{i}\right\|} _{=:C_{2}}\\\end{array}}}$,

Beweis 3: Abschätzung nach unten

Wir betrachten nun die Einschränkung der Funktion${\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|:\partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})\to \mathbb {R} }$. Man definiert dazu den Rand der Einheitskugel ${\displaystyle \displaystyle \quad {\mbox{auf}}\quad x\in \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V}):=\{x\in V\vert \,\|x\|_{B}=1\}\subset V}$ bzgl. der beliebig gewählten Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$.

Die Menge ${\displaystyle \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})}$ ist bezüglich ${\displaystyle \|\cdot \|_{B}}$ eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von ${\displaystyle V}$ (bzw. ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$). Für endlich dimensionale ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorräume ist eine solche Menge nach dem von Satz von Heine-Borel kompakt.

Beweis 4: Abschätzung nach unten - Min/Max

Das Minimum und Maximum der stetigen Funktion ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert$ :\partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})\to \mathbb {R} } existiert nach dem Satz von Weierstrass und wird durch ein Element ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})}$ auf dem kompakten Definitionsbereich angenommen.

• Minimum: ${\displaystyle C_{1}:=\min _{w\in \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})}\Vert w\Vert =\Vert w_{1}\Vert }$
• Maximum: ${\displaystyle C_{0}:=\max _{w\in \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})}\Vert w\Vert =\Vert w_{2}\Vert }$

für geeignet gewähltes ${\displaystyle w_{1},w_{2}}$. Weil ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})}$ gilt, ${\displaystyle \|w_{1}\|_{B}=1}$ und ${\displaystyle \|w_{2}\|_{B}=1}$ und weil auch ${\displaystyle \|\cdot \|}$ eine Norm auf dem endlichdimensionalen Vektorraum ${\displaystyle V}$ ist, muss ${\displaystyle \|w_{1}\|>0}$ und ${\displaystyle \|w_{2}\|>0}$ gelten.

Beweis 5: Abschätzung nach unten

Mit der Fallunterscheidung für ${\displaystyle v=0_{V}}$ und ${\displaystyle v\not =0_{V}}$ erhält man mit:

• Fall 1: ${\displaystyle v=0_{V}}$ sowohl ${\displaystyle \|0_{V}\|=\|0_{V}\|_{B}=0}$, weil beide Abbildungen ${\displaystyle \|\cdot \|_{B}}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|}$ Normen sind. Damit gilt auch ${\displaystyle C\cdot \|0_{V}\|_{B}=\|0_{V}\|}$ für eine beliebige ${\displaystyle C>0}$.
• Fall 2: ${\displaystyle v\not =0_{V}}$ gilt ${\displaystyle w:={\frac {v}{\|v\|_{B}}}\in \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})}$. Ferner gilt ${\displaystyle \|v\|_{B}\cdot w=v}$.

Beweis 6: Abschätzung nach unten

Da in Fall 1 ein beliebiges ${\displaystyle C>0}$ die Abschätzung nach unter erfüllt, erhält man das ${\displaystyle C_{1}}$ der Abschätzung nach unten für ${\displaystyle v\not =0_{V}}$ mit ${\displaystyle w:={\frac {v}{\|v\|_{B}}}\in \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})}$ über:

${\displaystyle \|v\|=\left\|\|v\|_{B}\cdot w\right\|{\stackrel {Hom}{=}}\|v\|_{B}\cdot \left\|w\right\|{\stackrel {(B4)}{\geq }}\|v\|_{B}\cdot \left\|w_{1}\right\|=\|v\|_{B}\cdot C_{1}}$

Beweis 7: Abschätzung gesamt

Insgesamt liefern die Beweisschritte 2,5 und 6 für alle ${\displaystyle v\in V}$ aus dem endlichdimensionalen Vektorraum ${\displaystyle V}$ die gesuchte Ungleichung:

${\displaystyle C_{1}\cdot \|v\|_{B}\leq \|v\|\leq C_{2}\cdot \|v\|_{B}}$.

Damit sind die beiden Normen ${\displaystyle \|\cdot \|_{B}}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|}$ äquivalent.

Beweis 8: Normäquivalenz ist Äquivalenzrelation

Die Äquivalenz von Normen ist eine Äquivalenzrelation. Da die Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ beliebig auf ${\displaystyle V}$ gewählt war, sind mit dem obigen Beweis alle Normen äquivalent zur Norm ${\displaystyle \|\cdot \|_{B}}$. Da Normäquivalenz ist Äquivalenzrelation auf der Menge der Normen auf ${\displaystyle V}$ ist, sind alle Normen in einem endlichdimensionalen Vektorräume äquivalent. q.e.d.

Bemerkung

Diese Aussage gilt nicht mehr auf unendlichdimensionalen normierten Vektorräumen, da dort die Einheitskugel zwar abgeschlossen und beschränkt ist, aber nicht mehr kompakt.

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