Diese Seite beinhaltet die Vektorräume, die in dem Kurs verwendet werden.

Defintion: Vektorraum

Sei ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ein Körper und ${\displaystyle V=(V,+)}$ eine kommutative Gruppe. Man nennt ${\displaystyle V}$ einen ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorraum, wenn eine Abbildung

${\displaystyle \cdot$ :\mathbb {K} \times V\rightarrow V} mit ${\displaystyle (\lambda ,v)\mapsto \lambda \cdot v}$ ,

definiert ist, die die folgenden Axiome erfüllt ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {K} }$ und ${\displaystyle v,w\in V}$ beliebig .

• (ES) ${\displaystyle 1\cdot v=v}$ (Einselement skalare Multiplikation)
• (AMS) ${\displaystyle \lambda \cdot (\mu \cdot v)=(\lambda \cdot \mu )\cdot v.}$ (assoziative Multiplikation mit Skalaren)
• (DV) ${\displaystyle \lambda \cdot (v+w)=\lambda \cdot v+\lambda \cdot w.}$ (Vektoren distributiv)
• (DS) ${\displaystyle (\lambda +\mu )\cdot v=\lambda \cdot v+\mu \cdot v.}$ (Skalare distributiv)

Endlichdimensionale Vektorräume 1

Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, dann ist

• ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Vektorraum der Dimension ${\displaystyle n}$,
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum der Dimension ${\displaystyle n}$,
• ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Vektorraum der Dimension ${\displaystyle n}$,

Aufgaben

• (Unterscheidung von Verknüpfungen - ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Algebra) Durch welche Eigenschaften unterscheiden sich ein ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorraum und eine ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Algebra? Unterscheiden Sie drei Multiplikationszeichen in einer ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Algebra und identifizieren Sie in den definierenden Eigenschaften des ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorraums bzw. der ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Algebra, welche Multiplikation gemeint ist.
  • Multiplikation im Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$,
  • Multiplikation mit Skalaren als äußere Verknüpfung,
  • Multiplikation von Elementen aus dem Vektorraum als innere Verknüpfung in einer ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Algebra,
• (Unterscheidung von Verknüpfungen - Hilbert-Raum) Sei ${\displaystyle \mathbb {K}$ :=\mathbb {R} } oder ${\displaystyle \mathbb {K}$ :=\mathbb {C} } . Durch welche Eigenschaften unterscheiden sich ein ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorraum und ein Hilbertraum über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$? Unterscheiden Sie drei Verküpfungen in einem ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Hilbertraum und vergleichen dabei auch die definierenden Eigenschaften einer Multiplikation als innere Verknüpfung in einer ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Algebra mit den Eigenschaften eines Skalarproduktes in einem Hilbert-Raum über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede stellen Sie fest?

Endlichdimensionale Vektorräume von Matrizen 2

Seien ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$, dann ist

• ${\displaystyle Mat(m\times n,\mathbb {Q} )}$ (${\displaystyle m\times n}$-Matrizen mit Komponenten in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) ein endlichdimensionaler ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Vektorraum der Dimension ${\displaystyle m\cdot n}$,
• ${\displaystyle Mat(m\times n,\mathbb {R} )}$ (${\displaystyle m\times n}$-Matrizen mit Komponenten in ${\displaystyle \mathbb {R} }$) ein endlichdimensionaler ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum der Dimension ${\displaystyle m\cdot n}$,
• ${\displaystyle Mat(m\times n,\mathbb {C} )}$ (${\displaystyle m\times n}$-Matrizen mit Komponenten in ${\displaystyle \mathbb {C} }$) ein endlichdimensionaler ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Vektorraum der Dimension ${\displaystyle m\cdot n}$,

Unendlichdimensionale Vektorräume von Funktionen 1

Sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {K} )}$ die Menge der stetigen (engl. continuous) Funktionen von dem Intervall ${\displaystyle [a.b]}$ in den Körper ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ als Wertebereich. Dann ist

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {Q} )}$ eine unendlichdimensionaler ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Vektorraum,
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )}$ eine unendlichdimensionaler ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum,
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {C} )}$ eine unendlichdimensionaler ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Vektorraum.

Innere und äußere Verknüpfung auf Vektorräumen von Funktionen 2

Mit ${\displaystyle V={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {K} )}$ und ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$ ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert:

${\displaystyle +:V\times V\to V}$ mit ${\displaystyle (f,g)\mapsto f+g:=h}$ und ${\displaystyle h(x):=f(x)+g(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes ${\displaystyle x\in [a,b]}$ definert:

${\displaystyle \cdot$ :\mathbb {K} \times V\to V} mit ${\displaystyle (\lambda ,f)\mapsto \lambda \cdot f:=h}$ und ${\displaystyle h(x):=\lambda \cdot f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Unendlichdimensionale Vektorräume von Folgen 3

Sei ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$ ein Körper, dann bezeichnet

• ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,|\,a_{n}\in \mathbb {K} \,{\mbox{ für alle }}n\in \mathbb {N} \}}$ die Menge der Folgen mit Folgengliedern in ${\displaystyle \mathbb {K} }$.
• ${\displaystyle c_{oo}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\exists _{n_{0}\in \mathbb {N} }\forall _{n\geq n_{0}}\,:\,a_{n}=0\}}$, die Menge der Folgen in ${\displaystyle \mathbb {K} }$, die ab einer Indexschranke alle Komponenten der Folge 0 sind.
• ${\displaystyle c_{o}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\lim _{n\to \infty }a_{n}=0\}}$, die Menge der Nullfolgen
• ${\displaystyle c(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\exists _{a_{0}\in \mathbb {K} }\,:\,\lim _{n\to \infty }a_{n}=a_{0}\}}$, die Menge der konvergenten Folgen in ${\displaystyle \mathbb {K} }$.

Folgenräume in normierten Räumen

Sei ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)}$ ein normierter Vektorraum :

• ${\displaystyle c_{oo}(V)\in V^{\mathbb {N} }}$ ist die Menge der Folgen in dem Vektorraum ${\displaystyle V}$, bei der ab einer Indexschranke alle Folgenglieder gleich dem Nullvektor aus ${\displaystyle V}$.
• ${\displaystyle c_{o}(V)\in V^{\mathbb {N} }}$ ist die Menge der Nullfolgen, wobei die Folgen bzgl. der Norm ${\displaystyle \|\cdot \|)}$ gegen den Nullvektor konvergieren, d.h.:

${\displaystyle (v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in c_{o}(V)\in V^{\mathbb {N} }\quad$ :\Leftrightarrow \quad \forall _{\varepsilon >0}\exists _{n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }\forall _{n>n_{\varepsilon }}\,:\quad \|v_{n}\|<\varepsilon }

• ${\displaystyle c(V)\in V^{\mathbb {N} }}$ ist die Menge der konvergenten Folgen in ${\displaystyle V}$, wobei die Folgen bzgl. der Norm ${\displaystyle \|\cdot \|)}$ gegen den Vektor ${\displaystyle v_{o}\in V}$ konvergieren, d.h.:

${\displaystyle (v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in c(V)\in V^{\mathbb {N} }\quad$ :\Leftrightarrow \quad \exists _{v_{o}\in V}\forall _{\varepsilon >0}\exists _{n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }\forall _{n>n_{\varepsilon }}\,:\quad \|v_{n}-v_{o}\|<\varepsilon }

Vektorraum von Polynomen

Sei ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ ein Körper und ${\displaystyle (V,\|\cdot \|}$ ein normierter ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorraum, dann bezeichnet

• ${\displaystyle V[x]:=\left\{p\,|\,(p_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in c_{oo}(V)\wedge p(x):=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}\cdot x^{n}\right\}}$ die Menge der Polynome mit Koeffizienten in ${\displaystyle V}$. Für ein spezielles ${\displaystyle x\in \mathbb {K} }$ ist ${\displaystyle p(x)\in V}$ eine Linearkombination aus Vektoren von ${\displaystyle V}$, wobei die Koeffzienten der Multiplikation mit Skalaren Potenzen ${\displaystyle x^{n}\in \mathbb {K} }$ von einem Skalar ${\displaystyle x\in \mathbb {K} }$ sind.

Innere und äußere Verknüfung auf Vektorräumen von Folgen 4

Die innere und äußere Verknüpfungen auf den Folgenräumen sind jeweils komponentenweise definiert, analog zur Vektorraum Addition und Multiplikation mit Skalaren im ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Mit ${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ und ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$ ist die innere Verknüpfung mit ${\displaystyle a:=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, ${\displaystyle b:=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ und ${\displaystyle c:=(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ wie folgt definiert:

${\displaystyle +:V\times V\to V}$ mit ${\displaystyle (a,b)\mapsto a+b:=c}$ und ${\displaystyle c_{n}:=a_{n}+b_{n}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes ${\displaystyle x\in [a,b]}$ definert:

${\displaystyle \cdot$ :\mathbb {K} \times V\to V} mit ${\displaystyle (\lambda ,a)\mapsto \lambda \cdot a:=c}$ und ${\displaystyle c_{n}:=\lambda \cdot a_{n}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Aufgaben für Lernende

• Betrachten Sie den Zahlenmenge der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ als Vektorraum über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Ist ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot ,\mathbb {Q} )}$ ein endlichdimensionaler oder ein unendlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} }$? Begründen Sie Ihre Antwort!
• Zeigen Sie, dass die von ${\displaystyle v_{1}=3}$ und ${\displaystyle v_{2}={\sqrt {3}}}$ aufgespannten Untervektorräume in dem ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Vektorraum ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot ,\mathbb {Q} )}$ als Schnittmenge nur den Nullvektor ${\displaystyle 0\in \mathbb {R} }$ enthalten!
• Analysieren Sie die Mengeninklusion bei den Folgenräumen und betrachtet Sie auch die Konvergenzeigenschaften von Reihen, die aus den Folgen generiert werden können mit:

${\displaystyle \quad \ell ^{p}(\mathbb {K} ):=\{(x_{n})_{n}\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,:\,\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty \}}$.

Welche Teilmengenbeziehung besteht zwischen ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}$ und ${\displaystyle c_{o}(\mathbb {K} )}$? Verallgemeinern Sie diesen Ansatz auf ${\displaystyle \ell ^{1}(V)}$ und ${\displaystyle c_{o}(V)}$ für einen normierten Raum ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)}$! Ist das ebenfalls für einen metrischen Raum ${\displaystyle (V,d)}$ möglich?

Siehe auch

• Banachalgebra
• Komplexe Zahlen
• Netze (Mathematik)
• Folgenräume
• Cauchy-Folgen
• Satz des Pythagoras in (Prä-)Hilberträumen

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