Definition: Orthogonalität

Sei ${\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ein (Prä-)Hilbertraum. Zwei Vektoren ${\displaystyle v,w\in V}$ heißen orthogonal, wenn für das Skalarprodukt ${\displaystyle \langle v,w\rangle =0}$ gilt. Bezeichnung ${\displaystyle v\bot w}$

Satz des Pythagoras

Sei ${\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei orthogonale Vektoren ${\displaystyle v,w\in V}$ (${\displaystyle v\bot w}$) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras.

${\displaystyle \|v+w\|^{2}=\|v\|^{2}+\|w\|^{2}}$,

Beweis

Nutzen Sie die Axiomen des Skalarproduktes über ${\displaystyle \mathbb {C} }$, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen.

Bemerkung

Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in V}$ erweitert werden und es gilt dann

${\displaystyle \|v_{1}+\dotsb +v_{n}\|^{2}=\|v_{1}\|^{2}+\dotsb +\|v_{n}\|^{2}}$.

Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem Hilbertraum ist die Parsevalsche Gleichung

Vektorraum der stetigen Funktionen

Mit ${\displaystyle V={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {K} )}$ und ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$ ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert:

${\displaystyle +:V\times V\to V}$ mit ${\displaystyle (f,g)\mapsto f+g:=h}$ und ${\displaystyle h(x):=f(x)+g(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes ${\displaystyle x\in [a,b]}$ definert:

${\displaystyle \cdot$ :\mathbb {K} \times V\to V} mit ${\displaystyle (\lambda ,f)\mapsto \lambda \cdot f:=h}$ und ${\displaystyle h(x):=\lambda \cdot f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Siehe auch

• Hilbert-Raum
• Orthogonalität