Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen

Beispiel einer Cauchy-Folge: der Abstand der Folgenglieder wird im Verlauf der Folge beliebig klein.

Beispiel einer Folge, die keine Cauchy-Folge ist: der Abstand der Folgenglieder wird im Verlauf der Folge nicht beliebig klein.

Eine Cauchy-Folge ist in der Mathematik eine Folge, bei der der Abstand der Folgenglieder im Verlauf der Folge beliebig klein wird. Cauchy-Folgen sind nach dem französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy benannt und von grundlegender Bedeutung für den Aufbau der Analysis. In dieser Lernressource wird der Begriff der Cauchy-Folge im Kontext von normierten Räumen behandelt, auf denen zusätzliche ein Multiplikation existiert.

Grenzwert einer Cauchy-Folge

Der Grenzwert einer Cauchy-Folge reeller Zahlen ist immer eine reelle Zahl. Der Grenzwert einer Cauchy-Folge rationaler Zahlen kann auch eine irrationale Zahl sein. Allgemein konvergieren genau dann alle Cauchy-Folgen von Elementen eines metrischen Raums, falls der Raum vollständig ist. Jeder unvollständige metrische Raum kann durch die Bildung von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen vervollständigt werden.

Cauchy-Folgen von Zahlen

Definition

Eine Folge $(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ rationaler oder reeller Zahlen heißt Cauchy-Folge oder Fundamentalfolge, wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ einen Index $N$ gibt, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als $\varepsilon$ voneinander entfernt sind. Formal lässt sich diese Bedingung als

\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad \left|a_{m}-a_{n}\right|<\varepsilon

schreiben, wobei $|\cdot |$ den Betrag einer Zahl darstellt.

Anmerkungen

In der Definition kann $\geq N$ auch durch $>N$ und $<\varepsilon$ auch durch $\leq \varepsilon$ ersetzt werden.

Äquivalent zu dieser Definition kann man auch fordern, dass es zu jeder noch so kleinen positiven Zahl $\varepsilon$ ein Intervall der Länge $2\varepsilon$ gibt, in dem fast alle Folgenglieder liegen.

Diese Definition entspricht weitgehend der Definition für konvergente Folgen, ohne jedoch den Begriff des Grenzwertes einer Folge zu benutzen. Cauchy-Folgen wurden daher früher auch als „in sich konvergente Folgen“ oder „konzentrierte Folgen“ bezeichnet.

Beispiele

Die Folge $a_{i}={\tfrac {1}{i}}$ ist eine Cauchy-Folge. Man kann nämlich zu einem beliebig vorgegebenen $\varepsilon >0$ ein $N$ so wählen, dass $N>{\tfrac {1}{\varepsilon }}$ erfüllt ist. Sind nun $n\geq m>N$ beliebig gewählt, dann gilt

|a_{m}-a_{n}|=\left|{\frac {1}{m}}-{\frac {1}{n}}\right|=\left|{\frac {n-m}{mn}}\right|<{\frac {n}{mn}}={\frac {1}{m}}<{\frac {1}{N}}<\varepsilon

.

Die Folge $a_{i}=i$ ist keine Cauchy-Folge. Sei dazu $\varepsilon ={\tfrac {1}{2}}$ gewählt und $N$ eine beliebige natürliche Zahl. Dann kann man $n=N+1$ und $m=n+1$ wählen und es gilt immer^[1]

|a_{m}-a_{n}|=|m-n|=1\geq \varepsilon

.

Vollständigkeit

Es gibt Folgen rationaler Zahlen, deren Folgenglieder sich in der beschriebenen Weise häufen, ohne aber einen Grenzwert in der Menge der rationalen Zahlen zu haben. Ein Beispiel hierfür ist die Folge rationaler Zahlen mit der Bildungsvorschrift (siehe Heron-Verfahren)

a_{1}:=1,\quad a_{i+1}:={\frac {a_{i}}{2}}+{\frac {1}{a_{i}}}

.

Diese Folge ist eine Cauchy-Folge, sie besitzt aber als Grenzwert die irrationale Zahl ${\sqrt {2}}$ und konvergiert daher innerhalb der Menge der rationalen Zahlen nicht. Die Problematik, dass in der Menge der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ viele Grenzwerte von Cauchy-Folgen nicht enthalten sind, führte zu der Idee der Vervollständigung des Zahlenbereichs auf die Menge $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen.

Cauchy-Folgen in normierten Räumen

Definition

Spezieller definiert man den Begriff der Cauchy-Folge für normierten Räume $(X,\|\cdot \|)$ , also beliebige Mengen $X$ , auf denen eine Norm $\|\cdot \|$ gegeben ist. Eine Folge $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ von Elementen in $X$ heißt dann Cauchy-Folge in $(X,\|\cdot \|)$ , wenn

\forall \varepsilon >0\quad \exists n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq n_{\varepsilon }\colon \quad \|x_{m}-x_{n}\|<\varepsilon

Bemerkung

Dies ist ein Spezialfall der Cauchy-Folge in metrischen Räumen, denn jeder normierte Raum $(X,\|\cdot \|)$ ist mit folgender Metrik $d:X\times X\to \mathbb {R} ^{+}$ auch ein metrischer Raum $(X,d)$ :

d(x,y):=\|x-y\|

Cauchy-Folgen in metrischen Räumen

Definition

Allgemeiner definiert man den Begriff der Cauchy-Folge für metrische Räume $(X,d)$ , also beliebige Mengen $X$ , auf denen eine Metrik $d$ gegeben ist. Eine Folge $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ von Elementen in $X$ heißt dann Cauchy-Folge, wenn

\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad d(x_{m},x_{n})<\varepsilon

gilt.^[2] Damit gibt es zu jedem reellen $\varepsilon >0$ einen Index $N$ , so dass für alle natürlichen Zahlen $m,n\geq N$ der Abstand der entsprechenden Folgenglieder $d(x_{m},x_{n})<\varepsilon$ ist.

Eine dazu äquivalente geometrische Formulierung ist: Für jedes $\varepsilon >0$ gibt es einen Punkt $a$ und einen Index $N$ , so dass alle Folgenglieder ab $x_{N}$ in der offenen Kugel $B_{\varepsilon }(a)$ um den Punkt $a$ mit Radius $\varepsilon$ liegen. Diese Version unterscheidet sich nur dadurch von der Konvergenzdefinition, dass hier der Mittelpunkt $a$ vom Radius $\varepsilon$ abhängen darf, während bei der Konvergenz der Grenzwert $a$ von $\varepsilon$ unabhängig sein muss.

Vollständigkeit

Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist auch eine Cauchy-Folge. Konvergiert nämlich eine Folge $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ gegen einen Grenzwert $x\in X$ , dann gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ einen Index $n_{\varepsilon }\in \mathbb {N}$ , sodass $d(x,x_{n})<{\tfrac {\varepsilon }{2}}$ für alle $n\geq n_{\varepsilon }$ gilt. Mit der Dreiecksungleichung für metrische Räume folgt dann für alle $m,n\geq n_{\varepsilon }$

d(x_{m},x_{n})\leq d(x_{m},x)+d(x,x_{n})<{\tfrac {\varepsilon }{2}}+{\tfrac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon

und die Folge ist somit eine Cauchy-Folge. Die umgekehrte Richtung muss jedoch nicht notwendigerweise wahr sein, was letztendlich zur Einführung von vollständigen Räumen führte. In einem vollständigen Raum besitzt definitionsgemäß jede Cauchy-Folge einen Grenzwert und der Begriff der konvergenten Folge fällt mit dem Begriff der Cauchy-Folge zusammen. Jeder unvollständige metrische Raum kann jedoch durch die Bildung von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen vervollständigt werden. Dabei werden zwei Cauchy-Folgen $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ und $(y_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ von Elementen in $X$ als äquivalent angesehen, wenn

\forall \varepsilon >0\quad \exists n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq n_{\varepsilon }\colon \quad d(x_{m},y_{n})<\varepsilon

oder, was dasselbe ist,

\lim _{m,n\in \mathbb {N} }d(x_{m},y_{n})=0

.

Liegt der Grenzwert einer der beiden Folgen in $X$ , dann auch der der anderen, und die beiden Grenzwerte sind gleich.

Aufgaben für Lernende

(Cauchy-Folgen in Funktionenräumen) Sei $V:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ die Menge der stetigen (engl. continuous) Funktionen von dem Intervall $[a,b]$ in den Körper $\mathbb {R}$ als Wertebereich. Ferner sei die folgende Norm auf $V$ gegeben:

\|\cdot \|:V\to \mathbb {R} _{0}^{+}\quad {\mbox{ mit }}\quad f\mapsto \|f\|:=\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx

Zeigen Sie, dass der folgende Funktionenraum der stetigen Funktionen mit der folgenden Norm nicht vollständig ist.

Hinweis 1: Verwenden Sie die folgende Funktionenfolge mit

[a,b]:=[0,2]

{\begin{array}{rcl}f_{n}:[a,b]&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &f(x)=\left\{{\begin{array}{lcl}0&{\mbox{ für }}&x\in \left[0,1-{\frac {1}{n}}\right]\\\quad n\cdot x+(1-n)&{\mbox{ für }}&x\in \left]1-{\frac {1}{n}},1\right]\\-n\cdot x+(1+n)&{\mbox{ für }}&x\in \left]1,1+{\frac {1}{n}}\right[\\0&{\mbox{ für }}&x\in \left[1+{\frac {1}{n}},2\right]\\\end{array}}\right.\\\end{array}}

Hinweis 2: Skizzieren Sie die Funktionen

f_{1},f_{2}

und

f_{3}

. Für den Beweis, dass

(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in V^{\mathbb {N} }

eine Cauchy-Folge in

V

sollten Sie die Integralnorm

\|f_{n}-f_{m}\|:=\int _{a}^{b}|f_{n}(x)-f_{m}(x)|\,dx

nach oben gegen einen Rechteckflächeninhalt abschätzen.

Hinweis 3:Betrachten Sie ferner die folgende Abbildung

f_{0}

und zeigen Sie, dass die Folge

(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in V^{\mathbb {N} }

punktweise gegen

f_{0}

konvergiert:

{\begin{array}{rcl}f_{0}:[a,b]&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &f_{0}(x)=\left\{{\begin{array}{lcl}0&{\mbox{ für }}&x\in \left[0,2\right]\setminus \{1\}\\1&{\mbox{ für }}&x=1\end{array}}\right.\\\end{array}}

(Polynom-Vektoräume mit Koeffizienten aus normierten Räumen) Sei $(V,\|\cdot \|)$ auf einem $\mathbb {K}$ -Vektorraum $V$ gegeben. Wir definieren nun den Vektorraum $V[x]$ der Polynome mit Koeffizienten aus $V$ und eine Norm Norm $\|\cdot \|_{V[x]}$ , die $(V[x],\|\cdot \|_{V[x]})$ zu einem normierten Raum macht. : Definieren Sie eine Cauchy-Folge $(p^{(i)})_{i\in \mathbb {N} }$ von Polynomenn in $V[x]$ , die nicht konvergent ist.

{\begin{array}{rcl}p^{(i)}:\mathbb {R} &\to &V\\x&\mapsto &p^{(i)}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}^{(i)}\cdot x^{n}{\mbox{ mit }}(p^{(i)})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(V).\\\end{array}}

Notation

$c_{oo}(V)\in V^{\mathbb {N} }$ ist die Menge der Folgen in dem Vektorraum $V$ , bei der ab einer Indexschranke alle Folgenglieder gleich dem Nullvektor aus $V$ .
$c_{o}(V)\in V^{\mathbb {N} }$ ist die Menge der Nullfolgen in einem normierten Vektorraum $(V,\|\cdot \|)$ .

Siehe auch

Literatur

Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4
Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8
Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2

Einzelnachweise und Anmerkungen

↑ Um einen Gegenbeweis zu führen, muss man die Definition umkehren: $\exists \varepsilon >0~\forall N\in \mathbb {N} ~\exists m,n\geq N\colon \left|a_{m}-a_{n}\right|\geq \varepsilon$ .
↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis. 2005, S. 2.

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[1] Um einen Gegenbeweis zu führen, muss man die Definition umkehren: $\exists \varepsilon >0~\forall N\in \mathbb {N} ~\exists m,n\geq N\colon \left|a_{m}-a_{n}\right|\geq \varepsilon$ .

[werner2-2] Dirk Werner: Funktionalanalysis. 2005, S. 2.

[1]

[2]