Lemma von Riesz

Aussage

Gegeben seien ein normierter Raum $(X,\|\cdot \|)$ , ein abgeschlossener echter Unterraum $U$ von $X$ und eine reelle Zahl $0<\delta <1$ .

Dann existiert ein normiertes Element $y_{\delta }\in X$ , so dass gilt ^[1] ^[2]:

\|y_{\delta }-u\|\geq \delta

für alle

u\in U

.

Bemerkung

Mit der obigen Aussage des Satzes gilt auch die Ungleichung für das folgende Infimum:

\ \inf _{u\in U}\|y_{\delta }-u\|\geq \delta

.

Das Lemma wird später für im Kurs für den Kompaktheitssatz von Riesz verwendet.

Beweis

Der Beweis gliedert sich in die folgenden zwei Teilschritte:

(1) Abstands von Elementen zum Untervektorraum mit der Definition von $y_{\delta }$
(2) Abschätzungen in einer Ungleichungskette

(1) Abstands von Elementen zum Untervektorraum

Da $U$ ein echter Untervektorraum von $X$ ist, dann gibt es einen Punkt z außerhalb der echten Teilmenge U mit

d:=\inf _{u\in U}\|z-u\|>0\ .

(2) Abstands von Elementen zum Untervektorraum

Der Abstand $d$ zu $U$ muss positiv sein, da U nach Vorraussetzung abgeschlossen ist. Sei ein $0<\delta <1$ vorgegeben. Da d als Infimum definiert ist, gibt es ein $u_{0}\in U$ mit

d\leq \|z-u_{0}\|\leq {\frac {d}{\delta }}\qquad (\ast )

Man definiert nun $y_{\delta }$ wie folgt:

y_{\delta }:={\frac {z-u_{0}}{\|z-u_{0}\|}}

mit

\|y_{\delta }\|=1

.

(3) Ungleichungskette

Damit ergibt sich folgende Ungleichung:

${\begin{array}{rcl}\|y_{\delta }-u\|&=&\left\|{\frac {z-u_{0}}{\|z-u_{0}\|}}-u\right\|=\left\|{\frac {z-u_{0}}{\|z-u_{0}\|}}-{\frac {\|z-u_{0}\|}{\|z-u_{0}\|}}\cdot u\right\|\\&=&{\frac {1}{\|z-u_{0}\|}}\cdot \|z-\underbrace {u_{0}-\|z-u_{0}\|\cdot u} _{\in U}\|\\&\geq &{\frac {1}{\|z-u_{0}\|}}\cdot \inf _{u\in U}\|z-u\|={\frac {1}{\|z-u_{0}\|}}\cdot d\underbrace {\geq } _{(\ast )}{\frac {\delta }{d}}\cdot d=\delta \\\end{array}}$ q.e.d.

Einzelnachweise

↑ Harro Heuser: Funktionalanalysis, Teubner-Verlag (1975), Hilfssatz 10.2
↑ Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces, Springer-Verlag (1984), Kap. I, Lemma auf Seite 2

Siehe auch

Kompaktheitssatz von Riesz

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[1] Harro Heuser: Funktionalanalysis, Teubner-Verlag (1975), Hilfssatz 10.2

[2] Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces, Springer-Verlag (1984), Kap. I, Lemma auf Seite 2

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[2]