Wir betrachten die Menge

${\displaystyle {}N={\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid A{\text{ ist nilpotent}}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{4}\,}$

der reellen nilpotenten ${\displaystyle {}2\times 2}$-Matrizen sowie die Menge

${\displaystyle {}M=N\setminus \{{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\}\,.}$

a) Ist ${\displaystyle {}N}$ zusammenhängend?

b) Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge ${\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {R} ^{4}}$ ist.

c) Bestimme die Dimension von ${\displaystyle {}M}$.

d) Ist ${\displaystyle {}M}$ zusammenhängend?

${\displaystyle {}M}$