a) Jede nilpotente Matrix ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ lässt sich durch den linearen Weg

${\displaystyle [0,1]\longrightarrow N,\,t\longmapsto t{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

innerhalb der nilpotenten Matrizen mit der Nullmatrix verbinden. Daher ist ${\displaystyle {}N}$ wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend.

b) Eine ${\displaystyle {}2\times 2}$-Matrix ist genau dann nilpotent, wenn sowohl die Spur als auch die Determinante ${\displaystyle {}0}$ sind. Die Menge ${\displaystyle {}N}$ der nilpotenten Matrizen kann also als

${\displaystyle {\left\{(a,b,c,d)\mid a+d=0{\text{ und }}ad-bc=0\right\}}}$

aufgefasst werden. Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(a,b,c,d)\longmapsto (a+d,ad-bc).}$

Deren Jacobi-Matrix ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&1\\d&-c&-b&a\end{pmatrix}}.}$

Diese Abbildung ist im Nullpunkt nicht regulär, aber in jedem anderen Punkt der Faser ${\displaystyle {}N}$. Wenn nämlich ${\displaystyle {}P\in M}$ ist, so folgt wegen

${\displaystyle {}a^{2}=bc\,}$

aus

${\displaystyle {}b=c=0\,}$

sofort

${\displaystyle {}a=b=c=d=0\,.}$

Die Jacobi-Matrix hat also in den Punkten aus ${\displaystyle {}M}$ den maximalen Rang. Mit

${\displaystyle {}G=\mathbb {R} ^{4}\setminus \{0\}\,}$

kann man ${\displaystyle {}M}$ als die Faser der eingeschränkten Abbildung auffassen, die überall auf der Faser regulär ist. Daher ist ${\displaystyle {}M}$ nach Fakt eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle {}G}$.

c) Nach Fakt ist die Dimension von ${\displaystyle {}M}$ gleich ${\displaystyle {}4-2=2}$.

d) Wir schreiben

${\displaystyle {}M_{+}={\left\{(a,b,c,d)\in M\mid b>c\right\}}\,}$

und

${\displaystyle {}M_{-}={\left\{(a,b,c,d)\in M\mid b<c\right\}}\,,}$

beides sind (als Durchschnitt von ${\displaystyle {}M}$ mit der durch ${\displaystyle {}b>c}$ gegebenen offenen Menge des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{4}}$) offene Mengen in ${\displaystyle {}M}$. Die Matrizen ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$ zeigen, dass sie nicht leer sind. Ferner überdecken sie ganz ${\displaystyle {}M}$. Bei ${\displaystyle {}b=c}$ folgt nämlich wegen

${\displaystyle {}0=ad-bc=-a^{2}-b^{2}\,}$

direkt ${\displaystyle {}a=b=c=d=0}$, und der Punkt gehört nicht zu ${\displaystyle {}M}$. Es liegt also eine Überdeckung mit zwei nichtleeren disjunkten offenen Mengen vor, daher ist ${\displaystyle {}M}$ nicht zusammenhängend.

e) Wir arbeiten mit der Abbildung

${\displaystyle \psi \colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow M_{+},\,(a,u)\longmapsto (a,u+{\sqrt {a^{2}+u^{2}}},u-{\sqrt {a^{2}+u^{2}}},-a).}$

Wegen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}ad-bc&=-a^{2}-{\left(u+{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}\right)}{\left(u-{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}\right)}\\&=-a^{2}-{\left(u^{2}-{\left(a^{2}+u^{2}\right)}\right)}\\&=0\end{aligned}}}$

ist die Determinantenbedingung erfüllt, und wegen

${\displaystyle {}b-c=u+{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}-{\left(u-{\sqrt {a^{2}+u^{2}}})\right)}=2{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}>0\,}$

gehört das Bild zu ${\displaystyle {}M_{+}}$. Die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon M_{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,(a,b,c,d)\longmapsto \left(a,\,{\frac {b+c}{2}}\right),}$

ist invers zu der gegebenen Abbildung. Dabei ist

${\displaystyle {}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\,}$

klar. Die andere Identität ergibt sich aus

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {b+c}{2}}+{\sqrt {a^{2}+{\left({\frac {b+c}{2}}\right)}^{2}}}&={\frac {b+c}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc}}\\&={\frac {b+c}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc}}\\&={\frac {b+c}{2}}+{\frac {b-c}{2}}\\&=b\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}{\frac {b+c}{2}}-{\sqrt {a^{2}+{\left({\frac {b+c}{2}}\right)}^{2}}}={\frac {b+c}{2}}-{\frac {b-c}{2}}=c\,.}$

Beide Abbildungen sind stetig, daher liegt eine Homöomorphie vor. Für ${\displaystyle {}M_{-}}$ vertauscht man die Rollen von

${\displaystyle {}b}$

${\displaystyle {}c}$