Beweis

Es gelte

${\displaystyle {}d(\varphi (x),\varphi (y))\leq L\cdot d(x,y)\,}$

mit einer Lipschitz-Konstanten${\displaystyle {}L\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$. Zunächst ist für jeden Würfel ${\displaystyle {}W\subseteq G}$ mit der Kantenlänge ${\displaystyle {}\delta }$ das Bild ${\displaystyle {}\varphi (W)}$ in einem Ball mit einem Radius ${\displaystyle {}\leq n\delta L}$ enthalten. Daher gibt es ein ${\displaystyle {}c>0}$ mit

${\displaystyle {}\lambda ^{n}(\varphi (W))\leq c\delta ^{n}=c\lambda ^{n}(W)\,}$

für alle Würfel. Diese Abschätzung gilt dann auch für alle Quader, da diese beliebig nahe durch Vereinigungen von Würfeln approximiert werden können.

Da ${\displaystyle {}S}$ eine messbare Nullmenge ist, gibt es aufgrund der Konstruktion des Borel-Lebesgue-Maßes über das äußere Maß zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ eine abzählbare Überpflasterung

${\displaystyle S\subseteq \bigcup _{i\in I}Q_{i}}$

mit Quadern ${\displaystyle {}Q_{i}}$ und mit

${\displaystyle \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})\leq \epsilon .}$

Daher gilt ${\displaystyle {}\varphi (S)\subseteq \bigcup _{i\in I}\varphi (Q_{i})}$ und somit

${\displaystyle {}\lambda ^{n}(\varphi (S))\leq \lambda ^{n}{\left(\bigcup _{i\in I}\varphi (Q_{i})\right)}\leq \sum _{i\in I}\lambda ^{n}(\varphi (Q_{i}))\leq \sum _{i\in I}c\lambda ^{n}(Q_{i})=c\sum _{i\in I}\lambda ^{n}(Q_{i})\leq c\epsilon \,.}$

Da man ${\displaystyle {}\epsilon }$ beliebig klein wählen kann, muss ${\displaystyle {}\varphi (S)}$ eine Nullmenge sein.