Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}n}$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}}$ und sei ${\displaystyle {}W}$ ein ${\displaystyle {}m}$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}}$ mit den zugehörigen Abbildungen

${\displaystyle \Psi _{\mathfrak {v}}\colon K^{n}\longrightarrow V}$

und

${\displaystyle \Psi _{\mathfrak {w}}\colon K^{m}\longrightarrow W.}$

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

eine lineare Abbildung mit beschreibender Matrix ${\displaystyle {}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )}$.

Dann ist

ist kommutativ.

Zu einem Vektor ${\displaystyle {}v\in V}$ kann man ${\displaystyle {}\varphi (v)}$ ausrechnen, indem man das Koeffiziententupel zu ${\displaystyle {}v}$ bezüglich der Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {v}}}$ bestimmt, darauf die Matrix ${\displaystyle {}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )}$ anwendet und zu dem sich ergebenden ${\displaystyle {}m}$-Tupel den zugehörigen Vektor bezüglich ${\displaystyle {}{\mathfrak {w}}}$ berechnet.