Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Torverteilung Fußball

Torverteilung Fußball

Das Spielgerät der Sportart: Ein Fußball.

Bei einem Fußballspiel werden von den verschiedensten Positionen auf dem Spielfeld Tore erzielt. Kann man hierbei Regelmäßigkeiten oder Muster bei einzelnen Teams feststellen? Gibt es hierbei Analogien zwischen leistungsstärkeren und leistungsschwächeren Mannschaften? Lassen sich hieraus taktische Handlungsanweisungen folgern? Lassen sich die Muster auch für die Defensive verwerten? Wie verhält sich die Torverteilung über die Spielzeit gesehen? Lassen sich aus der Kombination der Teilaspekte Vorhersagen treffen?

Modellierungsproblem

Folgende Inhalte werden innerhalb dieses Portfolios bearbeitet:

Mit realen Daten werden Heat Maps und Shot Charts auf Grundlage der Torverteilung einer Fußballmannschaft über die Zeitspanne einer Saison erstellt.
Es werden Muster und Regelmäßigkeiten gesucht, um taktische Anweisungen, Anpassungen und Verbesserungen geben zu können
Durch den Vergleich von defensiven und offensiven Daten sollen Voraussagen für die Folgesaison getroffen werden können

Softwarenutzung

Es handelt sich um ein räumliches und statistisches Modellierungsproblem, mit dem man eine Torverteilung vorhersagen kann. Daher werden statistische Werkzeugen und geometrische Werkzeuge für die Mathematische Modellbildung verwendet.

Fachwisssenschaftliche Grundlagen

Spieltag	Gegner	Minute	Position	Spieler	Elfmeter
1 (H)	Bayer Leverkusen (3:1)	9	G2	Süle
1 (H)	Bayer Leverkusen (3:1)	18	G1	Tolisso
1 (H)	Bayer Leverkusen (3:1)	53	F3	Lewandowski	x
2 (A)	Werder Bremen (0:2)	72	G2	Lewandowski
2 (A)	Werder Bremen (0:2)	75	E4	Lewandowski
4 (H)	Mainz 05 (4:0)	11	G3	Müller
4 (H)	Mainz 05 (4:0)	23	H2	Robben
4 (H)	Mainz 05 (4:0)	50	F2	Lewandowski
4 (H)	Mainz 05 (4:0)	70	E2	Lewandowski
5 (A)	Schalke 04 (0:3)	26	F3	Lewandowski	x
5 (A)	Schalke 04 (0:3)	29	G4	James
5 (A)	Schalke 04 (0:3)	75	F2	Vidal	x
6 (H)	VFL Wolfsburg (2:2)	33	F3	Lewandowski	x
6 (H)	VFL Wolfsburg (2:2)	42	E4	Robben
7 (A)	Hertha BSC (2:2)	10	F3	Hummels
7 (A)	Hertha BSC (2:2)	49	G2	Lewandowski
8 (H)	SC Freiburg (5:0)	8	E1	Eigentor
8 (H)	SC Freiburg (5:0)	42	F3	Coman
8 (H)	SC Freiburg (5:0)	63	F5	Thiago
8 (H)	SC Freiburg (5:0)	75	H3	Lewandwoski
8 (H)	SC Freiburg (5:0)	90+3	G2	Kimmich
9 (A)	Hamburger SV (0:1)	52	G2	Tolisso
10 (H)	RB Leipzig (2:0)	19	G3	James
10 (H)	RB Leipzig (2:0)	38	G4	Lewandwoski
11 (A)	Borussia Dortmund (1:3)	17	G4	Robben
11 (A)	Borussia Dortmund (1:3)	37	G2	Lewandowski
11 (A)	Borussia Dortmund (1:3)	67	B5	Alaba
12 (H)	FC Augsburg (3:0)	31	G2	Vidal
12 (H)	FC Augsburg (3:0)	28	G3	Lewandowski
12 (H)	FC Augsburg (3:0)	49	E2	Lewandowski
13 (A)	M´Gladbach (2:1)	74	E5	Vidal
14 (H)	Hannover 96 (3:1)	17	E2	Vidal
14 (H)	Hannover 96 (3:1)	67	E2	Coman
14 (H)	Hannover 96 (3:1)	87	F3	Lewandoswki	x
15 (A)	Eintracht Frankfurt (0:1)	20	E1	Vidal
16 (H)	FC Köln (1:0)	60	F1	Lewandowski
17 (A)	VFB Stuttgart (0:1)	79	D3	Müller
18 (A)	Bayer Leverkusen (1:3)	32	E1	Martinez
18 (A)	Bayer Leverkusen (1:3)	59	D3	Ribery
18 (A)	Bayer Leverkusen (1:3)	90+1	F4	James
19 (H)	Werder Bremen (4:2)	41	E2	Müller
19 (H)	Werder Bremen (4:2)	63	E2	Lewandowski
19 (H)	Werder Bremen (4:2)	76	F3	Lewandowski
19 (H)	Werder Bremen (4:2)	84	F2	Müller
20 (H)	TSG Hoffenheim (5:2)	20	F1	Lewandowski
20 (H)	TSG Hoffenheim (5:2)	25	F1	Boateng
20 (H)	TSG Hoffenheim (5:2)	63	D2	Coman
20 (H)	TSG Hoffenheim (5:2)	66	E1	Vidal
20 (H)	TSG Hoffenheim (5:2)	90	F1	Wagner
21 (A)	Mainz 05 (0:2)	33	E4	Ribery
21 (A)	Mainz 05 (0:2)	44	G2	James
22 (H)	Schalke 04 (2:1)	6	F2	Lewandowski
22 (H)	Schalke 04 (2:1)	36	G1	Müller
23 (A)	VFL Wolfsburg (1:2)	64	F2	Wagner
23 (A)	VFL Wolfsburg (1:2)	90+1	F3	Lewandowski	x
25 (A)	SC Freiburg (0:4)	25	G1	Eigentor
25 (A)	SC Freiburg (0:4)	28	G6	Tolisso
25 (A)	SC Freiburg (0:4)	54	F1	Wagner
25 (A)	SC Freiburg (0:4)	69	G2	Müller
26 (H)	Hamburger SV (6:0)	8	F2	Ribery
26 (H)	Hamburger SV (6:0)	12	F1	Lewandowski
26 (H)	Hamburger SV (6:0)	19	F3	Lewandowski
26 (H)	Hamburger SV (6:0)	55	E4	Robben
26 (H)	Hamburger SV (6:0)	81	E2	Ribery
26 (H)	Hamburger SV (6:0)	90	F3	Lewandowski	x
27 (A)	RB Leipzig (2:1)	12	F2	Wagner
28 (H)	Borussia Dortmund (6:0)	5	G3	Lewandowski
28 (H)	Borussia Dortmund (6:0)	14	F2	James
28 (H)	Borussia Dortmund (6:0)	23	F2	Müller
28 (H)	Borussia Dortmund (6:0)	44	F1	Lewandowski
28 (H)	Borussia Dortmund (6:0)	45+1	E2	Ribery
28 (H)	Borussia Dortmund (6:0)	87	F1	Lewandowski
29 (A)	FC Augsburg (1:4)	32	F2	Tolisso
29 (A)	FC Augsburg (1:4)	38	E2	James
29 (A)	FC Augsburg (1:4)	62	H3	Robben
29 (A)	FC Augsburg (1:4)	87	F2	Wagner
30 (H)	M´Gladbach (5:1)	37	F1	Wagner
30 (H)	M´Gladbach (5:1)	41	F2	Wagner
30 (H)	M´Gladbach (5:1)	51	F2	Thiago
30 (H)	M´Gladbach (5:1)	67	D4	Alaba
30 (H)	M´Gladbach (5:1)	82	E2	Lewandowski
31 (A)	Hannover 96 (0:3)	57	F3	Müller
31 (A)	Hannover 96 (0:3)	73	F3	Lewandowski
31 (A)	Hannover 96 (0:3)	89	F3	Rudy
32 (H)	Eintracht Frankfurt (4:1)	43	F2	Dorsch
32 (H)	Eintracht Frankfurt (4:1)	76	E2	Wagner
32 (H)	Eintracht Frankfurt (4:1)	87	H3	Rafinha
32 (H)	Eintracht Frankfurt (4:1)	90	G3	Süle
33 (A)	FC Köln (1:3)	59	F1	James
33 (A)	FC Köln (1:3)	61	F2	Lewandowski
33 (A)	FC Köln (1:3)	78	F2	Tolisso
34 (H)	VFB Stuttgart (1:4)	21	F3	Tolisso

Fachmathematischen Werkzeuge

Sek I:
- Tabellenkalkulation ( - frei Zugang zu Lernresourcen)
- Funktionsgraphen

Sek II:
- Tabellenkalkulation
- Funktionsgraphen
- Stochastik, schätzen von Wahrscheinlichkeiten
- Arbeiten mit elektronischen Medien (Excel)

Uni:
- Wahrscheinlichkeit
- Vektorfelder
- Excel
- Maxima
- R (Verarbeitung von Wahrscheinlichkeiten und Vektoren)

Zuordnung des Modellierungsthemas zu den Nachhaltigkeitszielen (Sustainable Development Goals)

Auch der Sport hat einen Entwicklungsauftrag zur Nachhaltigkeit. Durch die Förderung von Werten wie beispielsweise Fairplay, Respekt, Gleichstellung und Toleranz wird ein Beitrag zur Stärkung der jungen Menschen, Frauen, "[...]des Einzelnen und der Gemeinschaft und zu den Zielen der Gesundheit, der Bildung und der sozialen Inklusion [...]" ^[2] geleistet.

Im Allgemeinen lassen sich folgende Nachhaltigkeitsziele der UN mit dem Sport- übergreifend für Fußball und andere Sportarten- verknüpfen.

Rohdaten

Mit Hilfe eines Datencenters der Süddeutschen Zeitung werden die benötigten Daten gewonnen. Hierbei werden die einzelne Spiele betrachtet und eine Heat Map erstellt. Diese ordnet den Standpunkt des Torschützen eine eindeutigen Position innerhalb eines Spielfeldrasters zuß. Weiterhin wird die Spielminute des Torerfolgs notiert.

Folgende Daten wurden somit ermittelt:

FC Bayern München

Saison 2016/2017

Spieltag	Mannschaft	Ergebnis	Entfernung zum Tor	Spielminute
1	Werder Bremen	6:0	30m; 10m; 6m; 9m; 12m; 11m	9', 13', 46', 66', 73', 77'
2	Schalke 04	2:0	15m; 14m	81', 90+2'
3	Ingolstadt	3:1	15m; 27m; 25m	12', 50', 84'
4	Berlin	3:0	7m; 16m; 16m	16', 68', 72'
5	Hamburger SV	1:0	4m	88'
6	Köln	1:1	3m	40'
7	Eintracht Frankfurt	2:2	7m; 7m	10', 62'
8	Gladbach	2:0	6m; 13m	16', 31'
9	Augsburg	3:1	9m; 5m; 7m	19', 21', 48'
10	TSG Hoffenheim	1:1	8m	34'
11	Dortmund	0:1	-	-
12	Leverkusen	2:1	4m; 10m	30', 56'
13	Mainz 05	3:1	12m; 12m; 25m	8', 21', 90+2'
14	VFL Wolfsburg	5:0	23m; 5m; 9m; 10m; 15m	18', 22', 58', 76', 86'
15	Darmstadt	1:0	37m	71'
16	RB Leipzig	3:0	4m; 13m; 12m	17', 25', 45'
17	SC Freiburg	2:1	9m; 12m	35', 90+1'
18	Werder Bremen	2:1	16m; 27m	30', 45+1'
19	Schalke 04	1:1	8m	9'
20	Ingolstadt	2:0	5m; 14m	90', 90+1'
21	Berlin	1:1	4m; 13m; 6m	90+6'
22	Hamburger SV	8:0	22m; 11m; 8m; 17m; 6m; 8m; 15m; 8m	17', 24', 42', 54', 56', 65', 69', 87'
23	Köln	3:0	5m; 13m; 12m	25', 48', 90'
24	Eintracht Frankfurt	3:0	3m; 7m; 10m	38', 41', 55'
25	Gladbach	1:0	6m	63'
26	Augsburg	6:0	10m; 4m; 11m; 3m; 3m; 6m	17', 36', 55', 62', 79', 81'
27	TSG Hoffenheim	0:1	-	-
28	Borussia Dortmund	4:1	15m; 26m; 18m; 11m	4', 10', 49', 68'
29	Bayer Leverkusen	0:0	-	-
30	Mainz 05	2:2	8m; 23m	16', 73'
31	VFL Wolfsburg	6:0	25m; 16m; 7m; 27m; 12m; 7m	19', 36', 45', 66', 80', 85'
32	Darmstadt	1:0	8m	18'
33	RB Leipzig	5:4	12m; 4m; 5m; 26m; 10m	17', 60', 84', 90+1', 90+4'
34	SC Freiburg	4:1	18m; 21m; 4m; 2m	4', 73', 90+1', 90+4'

Saison 2015/2016

Spieltag	Mannschaft	Ergebnis	Entfernung zum Tor	Spielminute
1	Hamburger SV	5:0	11m; 11m; 9m; 10m; 24m	27', 53', 69', 73', 87'
2	1899 Hoffenheim	2:1	5m; 8m	41', 90'
3	Bayer Leverkusen	3:0	5m; 11m; 11m	26', 60', 71'
4	FC Augsburg	2:1	4m; 11m	77', 90'
5	Darmstadt 98	3:0	27m; 14m; 1m	20', 62', 63'
6	VfL Wolfsburg	5:1	9m; 22m; 11m; 9m; 15m	51', 52', 55', 57', 60'
7	Mainz 05	3:0	9,m; 11m; 5m;	51', 63', 68'
8	Borussia Dortmund	5:0	13m; 11m; 1m; 10m; 12m	26', 35', 46', 58', 66'
9	Werder Bremen	1:0	7m	23'
10	FC Köln	4:0	5m; 13m; 6m; 11m	35', 40', 62', 77'
11	Eintracht Frankfurt	0:0	-	-
12	VfB Stuttgart	4:0	5m; 15m; 3m; 1m	11', 18', 37', 40'
13	Schalke 04	3:1	7m; 6m; 13m	9', 69', 90+2'
14	Hertha BSC	2:0	1m; 6m	34', 41'
15	Mönchengladbach	1:3	6m	81'
16	FC Ingolstadt	2:0	14m; 15m	65', 75'
17	Hannover 96	1:0	11m	42'
18	Hamburger SV	2:1	11m; 10m	37', 63'
19	1899 Hoffenheim	2:0	3m; 6m	32', 64'
20	Bayer Leverkusen	0:0	-	-
21	FC Augsburg	3:1	15m; 13m; 6m	15', 62', 78'
22	Darmstadt 98	3:1	6m; 9m; 3m	49', 71', 84'
23	VfL Wolfsburg	2:0	12m; 8m	66', 74'
24	Mainz 05	1:2	31m	64'
25	Borussia Dortmund	0:0	-	-
26	Werder Bremen	5:0	7m; 4m; 4m; 14,9m; 4m	9', 31', 35', 86', 90'
27	FC Köln	1:0	16m	10'
28	Eintracht Frankfurt	1:0	16m	20'
29	VfB Stuttgart	3:1	8m; 24m	52', 89'
30	Schalke 04	3:0	8m; 6m; 6m	54', 65', 73'
31	Hertha BSC	2:0	21m; 30m	48', 79'
32	Mönchengladbach	1:1	12m	6'
33	FC Ingolstadt	2:1	11m; 7m	15', 32'
34	Hannover 96	3:1	13m; 6m; 17m	12', 28', 54'

Modellierungszyklus

Im ersten Zyklus sollen zunächst die Daten gesammelt und getrennt betrachtet werden. Das Niveau basiert auf Sek I bzw. Sek II Stufe, da hier die Wahrscheinlichkeiten für den Torerfolg in der Abhängigkeit von der Spielzeit bzw. von der Entfernung noch separat dargestellt werden.

Sekundar I Niveau

Im zweiten Zyklus werden die beiden Faktoren dann gemeinsam betrachtet, sodass wir uns nun auf Uni Niveau befinden.

Zyklus 1

Im ersten Zyklus sind die Daten "Torerfolg Spielminute" und "Torentfernung" gesammelt worden. Diese sollen in einem Diagramm verarbeitet werden. Es handelt sich um eine Zuordnung von Spielminute (X-Achse) --> Anzahl der Tore (Y-Achse). Um die Übersicht zu wahren, wird die zeitliche Verteilung in Intervallen zusammengefasst. Ein Intervall besteht aus jeweils 5 Spielminuten (1-4.59, 5-9,59 usw.). Die Nachspielzeit wird als eigenes Intervall behandelt. In einem zweiten Graph soll dargestellt werden, wie oft aus einer bestimmten Entfernung fällt. Hier ist die Zuordnung Entfernung --> Anzahl der Tore.

Sekundarstufe I

Modellierungszyklus 1

Im ersten Zyklus werden die Rohdaten in einem Balkendiagramm festgehalten. Dabei geht es nur um eine absolute Zuordnung der Daten. 1. Zuordung: Zeit -> Anzahl der Tore 2. Zuordnung: Entfernung -> Anzahl der Tore

Modellierungszyklus 2

- Zuordnungen (Zeitpunkt -> Anzahl und Entfernung -> Anzahl)
Sek II Niveau
- Auswertung Wahrscheinlichkeiten
- Erwartungswert
- Varianz
Uni Niveau
- Wahrscheinlichkeitsverteilung (dikrete Verteilung)
- Dichtefunktion

Zuordnungen

FSV Mainz 05

Saison 2015/2016 und 2016/17

Entfernung in Meter	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Anzahl Tore	0	4	1	7	5	6	6	2	3	2	6	10	6	2	8	2	2	3	2	3	1	5	1	0	0	0	2	0	0	2

Zuordnung Entfernung Tore Mainz

Spielminute	1-5	6-10	11-15	16-20	21-25	26-30	31-35	36-40	41-45	45+	46-50	51-55	56-60	61-65	66-70	71-75	76-80	81-85	86-90	90+
Anzahl Tore	4	4	6	5	7	7	5	4	6	1	3	4	3	4	4	3	9	3	4	7

Torverteilung nach Minuten FSV Mainz 05Saison 2015/2016 und 2016/2017

Bayern München

Saison 2015/2016 und 2016/2017

Entfernung in Meter	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	37
Anzahl Tore	3	1	6	11	9	16	11	11	9	9	16	11	9	4	9	6	2	2	0	0	2	2	2	0	3	2	3	1	0	1	3

Zuordnung Entfernung Tore Bayern

Spielminute	1-5	6-10	11-15	16-20	21-25	26-30	31-35	36-40	41-45	45+	46-50	51-55	56-60	61-65	66-70	71-75	76-80	81-85	86-90	90+
Anzahl Tore	2	8	5	14	9	6	7	9	8	1	8	10	7	14	12	10	9	7	8	13

Torverteilung nach Minuten FC Bayern MünchenSaison 2015/2016 und 2016/2017

Zyklus 2

Literatur

↑ Krengel, U. (1988). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (Vol. 8). Braunschweig: Vieweg.
↑ http://www.un.org/depts/german/gv-70/a70-l1.pdf, 27.11.

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[1] Krengel, U. (1988). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (Vol. 8). Braunschweig: Vieweg.

[2] ttp://www.un.org/depts/german/gv-70/a70-l1.pdf, 27.11.