Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Durchschnitt von Mengen ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$.
2. Die Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen.
3. Die Multiplikation von ganzen Zahlen.
4. Der ${\displaystyle {}p}$-Exponent von einer ganzen Zahl ${\displaystyle {}n}$ zu einer Primzahl ${\displaystyle {}p}$.
5. Zwei teilerfremde natürliche Zahlen ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$.
6. Eine fallende Abbildung ${\displaystyle {}f\colon K\rightarrow K}$ auf einem angeordneten Körper ${\displaystyle {}K}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Integritätseigenschaft für natürliche Zahlen.
2. Das Distributivgesetz für die Differenz von natürlichen Zahlen.
3. Der Satz über die Größenverhältnisse von Potenzen ${\displaystyle {}x^{n}}$ zu ${\displaystyle {}x>0}$ in einem angeordneten Körper ${\displaystyle {}K}$.

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${\displaystyle {}p}$ ${\displaystyle {}q}$ ${\displaystyle {}?}$ w w f w f w f w w f f w

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge. Wir betrachten die Verknüpfung

${\displaystyle {\mathfrak {P}}\,(M)\times {\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,(A,B)\longmapsto A\setminus B.}$

Ist diese Verknüpfung assoziativ?

Es seien ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ endliche Mengen mit ${\displaystyle {}m}$ bzw. ${\displaystyle {}n}$ Elementen und sei

${\displaystyle f\colon M\longrightarrow N}$

eine injektive Abbildung. Wie viele Abbildungen

${\displaystyle g\colon N\longrightarrow M}$

mit

${\displaystyle {}g\circ f=\operatorname {Id} _{M}\,}$

gibt es?

Ed soll ${\displaystyle {}56:8}$ ausrechnen. Er rechnet folgendermaßen:

„

${\displaystyle {}{\begin{aligned}56&=5\cdot 10+6\\&=5\cdot (8+2)+6\\&=5\cdot 8+5\cdot 2+6\\&=5\cdot 8+16\\&=5\cdot 8+1\cdot 10+6\\&=5\cdot 8+1\cdot (8+2)+6\\&=5\cdot 8+1\cdot 8+2+6\\&=6\cdot 8+8\\&=7\cdot 8,\end{aligned}}}$

die Antwort ist also ${\displaystyle {}7}$.“

Wie rechnet er ${\displaystyle {}63:7}$?

Es seien ${\displaystyle {}\ell ,m\in \mathbb {N} _{+}}$ und es sei ${\displaystyle {}x}$ die Zahl mit ${\displaystyle {}\ell }$ Neunen und ${\displaystyle {}y}$ die Zahl mit ${\displaystyle {}m}$ Neunen (im Zehnersystem). Zeige, dass ${\displaystyle {}y}$ genau dann von ${\displaystyle {}x}$ geteilt wird, wenn ${\displaystyle {}m}$ von ${\displaystyle {}\ell }$ geteilt wird.

Bestimme die Primfaktorzerlegung von

${\displaystyle {\binom {49}{6}}.}$

Beweise

${\displaystyle {}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}2^{i}=(-1)^{n}\,.}$

Bestimme die kleinste natürliche Zahl ${\displaystyle {}>99}$, die ein Vielfaches von ${\displaystyle {}99}$ ist und in deren Darstellung im Dezimalsystem nur Neunen vorkommen.

Zu einer positiven natürlichen Zahl ${\displaystyle {}n}$ sei ${\displaystyle {}a_{n}}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen ${\displaystyle {}1,2,3,\ldots ,n}$.

1. Bestimme ${\displaystyle {}a_{n}}$ für ${\displaystyle {}n=1,2,3,4,5,6,7,8,9}$.
2. Was ist die kleinste Zahl ${\displaystyle {}n}$ mit

   ${\displaystyle {}a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=a_{n+3}\,?}$

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}999999}$.

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstablelle, in der alle Produkte ${\displaystyle {}i\cdot j}$ mit ${\displaystyle {}1\leq i,j\leq 9}$ stehen. Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.

Die Puzzleteile für ein Puzzle haben eine grob rechteckige Form, wobei die eine Seite erkennbar länger als die andere sei, und auf jeder Seite gibt es entweder eine Einbuchtung oder eine Ausbuchtung. Wie viele Typen von Puzzelteilen gibt es?

Es sei

${\displaystyle {}x_{n}:=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\,.}$

1. Finde das kleinste ${\displaystyle {}n}$ mit

   ${\displaystyle {}x_{n}\geq 2\,.}$

2. Finde das kleinste ${\displaystyle {}n}$ mit

   ${\displaystyle {}x_{n}\geq 2{,}5\,.}$

Ersetze im Term ${\displaystyle {}4x^{2}+3x+7}$ die Variable ${\displaystyle {}x}$ durch den Term ${\displaystyle {}y^{3}+5}$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Zeige

${\displaystyle {}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {n}{n+1}}\,}$

Zwei Personen, ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$, liegen unter einer Palme, ${\displaystyle {}A}$ besitzt ${\displaystyle {}2}$ Fladenbrote und ${\displaystyle {}B}$ besitzt ${\displaystyle {}3}$ Fladenbrote. Eine dritte Person ${\displaystyle {}C}$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber ${\displaystyle {}5}$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die ${\displaystyle {}5}$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt ${\displaystyle {}C}$ an ${\displaystyle {}A}$ und an ${\displaystyle {}B}$?

Zeige, dass zwischen den Binomialkoeffizienten ${\displaystyle {}{\binom {n}{k}}}$ und ${\displaystyle {}{\binom {n}{k+1}}}$ der Zusammenhang

${\displaystyle {}{\binom {n}{k+1}}={\binom {n}{k}}\cdot {\frac {n-k}{k+1}}\,}$

besteht.

Zeige, dass für ${\displaystyle {}n\geq 3}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}n^{n+1}\geq (n+1)^{n}\,}$

gilt.

Die Biologin Sandra O'Neil ist eine renommierte Forscherin über Bakterien. Ihr Institut hat ein hochauflösendes Mikroskop erworben, das auf dem Bildschirm die Wirklichkeit im Verhältnis ${\displaystyle {}3:10^{7}}$ wiedergibt. Auf dem Bildschirm ist die Geißel des Bakteriums ${\displaystyle {}21}$ cm lang und dreimal so lang wie das Bakterium selbst. Auf dem Bakterium befindet sich ein roter Punkt, dessen Flächeninhalt auf dem Bildschirm ${\displaystyle {}2}$ Quadratzentimeter einnimmt.

1. Wie lang ist das Bakterium in Wirklichkeit?
2. Welchen Flächeninhalt hat der rote Punkt in Wirklichkeit?

Bestimme

${\displaystyle {\left({\left({\left({\left({\left({\frac {3}{7}}\right)}^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{-1}.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein angeordneter Körper. Finde alle Lösungen ${\displaystyle {}(a,b,c)\in K^{3}}$, die das Gleichungssystem

${\displaystyle {}a\cdot b=c\,,}$

${\displaystyle {}b\cdot c=a\,,}$

${\displaystyle {}a\cdot c=b\,}$

erfüllen.