Beweis 1: zusammenhängend

Wir zeigen, dass aus ${\displaystyle f}$ stetig und ${\displaystyle U}$ zusammenhängend folgt, dass auch ${\displaystyle f(U)}$ zusammenhängend ist.

Beweis 2: zusammenhängend

Seien ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in f(U)}$ beliebig gewählt. Dann gibt ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in U}$ mit ${\displaystyle f(z_{1})=w_{1}}$ und ${\displaystyle f(z_{2})=w_{2}}$. Da ${\displaystyle U}$ zusammenhängend ist, gibt es ein Weg ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to U}$ mit ${\displaystyle \gamma (a)=z_{1}}$ und ${\displaystyle \gamma (b)=z_{2}}$.

Beweis 3: zusammenhängend

Weil ${\displaystyle f}$ stetig ist und ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to U}$ ein stetig Weg in ${\displaystyle U}$ ist, so ist auch${\displaystyle \gamma _{f}:=f\circ \gamma }$ ein stetiger Weg in ${\displaystyle f(U)}$, für den gilt:

${\displaystyle \gamma _{f}(a)=f(\gamma (a))=f(z_{1})=w_{1}}$ und ${\displaystyle \gamma _{f}(b)=f(\gamma (b))=f(z_{2})=w_{2}}$

Beweis 4: offen

Es bleibt zu zeigen, dass ${\displaystyle f(U)}$ offen ist, sei dazu ${\displaystyle w_{0}\in f(U)}$ und ${\displaystyle z_{0}\in U}$ mit ${\displaystyle f(z_{0})=w_{0}}$. Wir betrachten nun die Menge der ${\displaystyle w_{0}}$-Stellen

${\displaystyle S(f,w_{0}):=\{z\in U\ |\ {}f(z)=w_{0}\}}$

Beweis 5: offen - Identitätssatz

Nach dem Identitätssatz kann die Menge ${\displaystyle S(f,w_{0}):=\{z\in U\ |\ {}f(z)=w_{0}\}}$ keine Häufungspunkte in ${\displaystyle f(U)}$ haben. Hätte eine ${\displaystyle S(f,w_{0})\subseteq f(U)}$ Häufungspunkte in ${\displaystyle f(U)}$, dann wäre die holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ konstant mit ${\displaystyle f(z)=w_{0}}$ für alle ${\displaystyle z\in U}$.

Beweis 6: offen - Umgebungen

Wenn die Menge ${\displaystyle S(f,w_{0})}$ der ${\displaystyle w_{0}}$-Stellen von ${\displaystyle f}$ keine Häufungspunkte hat, kann man eine Umgebung ${\displaystyle V\subseteq U}$ von ${\displaystyle z_{0}}$ so wählen, in der ${\displaystyle z_{0}}$ die einzige ${\displaystyle w_{0}}$-Stelle ist. Sei ${\displaystyle r>0}$ so gewählt, dass ${\displaystyle {\bar {D}}_{r}(z_{0})\subseteq V}$ gilt.

Beweis 7: offen

Dann definieren wir die kleinste untere Schranke für den Abstand von ${\displaystyle f(z)}$ zu ${\displaystyle w_{0}}$, wobei ${\displaystyle z}$ auf dem Kreisrand von ${\displaystyle D_{r}(z_{0})}$ liegt.

${\displaystyle \varepsilon :=\inf _{z\in \partial D_{r}(z_{0})}|f(z)-w_{0}|>0}$

Dabei ist ${\displaystyle \varepsilon >0}$, weil ${\displaystyle f}$ stetig ist und auf der kompakten Menge ${\displaystyle \partial D_{r}(z_{0})}$ ein Minimum annimmt. Mit ${\displaystyle {\bar {D}}_{r}(z_{0})\subseteq V}$ kann auf dem Rand keine ${\displaystyle w_{0}}$-Stellen liegen.

Beweis 8: offen - Maximumsprinzip

Wir zeigen, dass ${\displaystyle D_{\frac {\varepsilon }{3}}(w_{0})\subseteq f(U)}$ gilt. Sei dazu ${\displaystyle |w-w_{0}|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$. Wir zeigen nun durch Widerspruch, dass dies beliebige ${\displaystyle w\in D_{\frac {\varepsilon }{3}}(w_{0})}$ als Bild von ${\displaystyle f}$ getroffen wird.

Beweis 9: offen - Maximumsprinzip

Angenommen, es wäre ${\displaystyle f(z)\neq w}$ für alle ${\displaystyle z\in {\bar {D}}_{r}(z_{0})}$. Dann nimmt ${\displaystyle |g|}$ mit ${\displaystyle g(z):=f(z)-w}$ auf ${\displaystyle {\overline {D_{r}(z_{0})}}}$ ein von Null verschiedenes Minimum an. Da ${\displaystyle f}$ nicht konstant ist, muss dieses Minimum auf ${\displaystyle \partial D_{r}(z_{0})}$ liegen (sonst ist ${\displaystyle h(z):={\frac {1}{f(z)-w}}}$ nach dem Maximumprinzip konstant. Wenn ${\displaystyle h}$ konstant ist, müsste dann auch ${\displaystyle f}$ konstant sein (Widerspruch zur Voraussetzung).

Beweis 9: offen

Da ${\displaystyle w_{0}\in f(U)}$ beliebig gewählt wurde und für jedes ${\displaystyle w_{0}\in f(U)}$ eine ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{3}}}$-Umgebung ${\displaystyle D_{\frac {\epsilon }{3}}(w_{0})\subseteq f(U)}$ erhalten, die in ${\displaystyle f(U)}$ ist ${\displaystyle f(U)=\bigcup _{w_{0}\in f(U)}D_{\frac {\epsilon }{3}}(w_{0})}$ als Vereinigung von offenen Mengen wieder offen.