Lemma

Es sei ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$ offen, ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {C} }$ holomorph. Sei ${\displaystyle z_{0}\in G}$ eine lokale Maximalstelle von ${\displaystyle |f|}$. Dann ist ${\displaystyle f}$ auf einer Umgebung von ${\displaystyle z_{0}}$ konstant.

Beweis des Lemmas 1

Es sei ${\displaystyle r>0}$ so gewählt, dass ${\displaystyle |f(z)|\leq |f(z_{0})|}$ für alle ${\displaystyle z\in {\bar {D}}_{r}(z_{0})\subseteq G}$ gilt. Die Cauchy-Integralformel liefert für alle ${\displaystyle \varepsilon \leq r}$, dass

${\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D_{\varepsilon }(z_{0})}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz}$

Damit kann man die folgende Abschätzung zeigen:

Beweis des Lemmas 2

Man erhält die folgende Abschätzung:

${\displaystyle {\begin{array}{rl}|f(z_{0})|&={\frac {1}{2\pi }}\left|\int _{\partial D_{\varepsilon }(z_{0})}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz\right|\\&={\frac {1}{2\pi }}\left|\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(z_{0}+\varepsilon e^{it})}{\varepsilon \cdot e^{it}}}\varepsilon \cdot i\cdot e^{it}\,dt\right|\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(z_{0}+\varepsilon \cdot e^{it})|\,dt\\&\leq \sup _{t\in [0,2\pi ]}|f(z_{0}+\varepsilon \cdot e^{it})|\\&\leq |f(z_{0})|\end{array}}}$

Beweis des Lemmas 3

Daraus folgt, dass es sich bei der ${\displaystyle \leq }$-Abschätzung um echte Gleichungkette handelt und somit

${\displaystyle {\begin{array}{rl}|f(z_{0})|=&\int _{0}^{2\pi }|f(z_{0})|\cdot {\frac {1}{2\pi }}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(z_{0}+\varepsilon \cdot e^{it})|\,dt\\\Rightarrow &0=\int _{0}^{2\pi }(|f(z)|-|f(z_{0})|)dt\\\Rightarrow &|f(z)|=|f(z_{0})|\end{array}}}$

.

Beweis des Lemmas 4

Damit erhalten wir die Konstanz von ${\displaystyle |f|}$ über die Eigenschaft:

${\displaystyle |f(z)|=|f(z_{0})|}$ für alle ${\displaystyle z\in {\bar {D}}_{r}(z_{0})}$,

d.h. ${\displaystyle |f|}$ ist auf ${\displaystyle D_{r}(z_{0})}$ konstant.

Beweis des Lemmas 5

Wenn ${\displaystyle |f|={\sqrt {{\mathfrak {Re}}(f)^{2}+{\mathfrak {Im}}(f)^{2}}}}$ auf ${\displaystyle D_{r}(z_{0})}$ konstant ist, dann muss auch ${\displaystyle {\mathfrak {Re}}(f)^{2}+{\mathfrak {Im}}(f)^{2}=c}$ konstant sein mit einer Konstante ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$.

Beweis des Lemmas 6

Wegen ${\displaystyle f}$ holomorph auf ${\displaystyle D_{r}(z_{0})}$ ist gelten die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen für

${\displaystyle u:={\mathfrak {Re}}(f),\ v:={\mathfrak {Im}}(f)\ {\mbox{ und }}\ f(z):=u(x,y)+i\cdot v(x,y)}$

und es gilt

${\displaystyle {\frac {\partial u(x,y)^{2}+v(x,y)^{2}}{\partial x}}=0{\mbox{ und }}{\frac {\partial u(x,y)^{2}+v(x,y)^{2}}{\partial y}}=0}$

Beweis des Lemmas 7

Ist ${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}}$ und ${\displaystyle u_{y}={\frac {\partial u}{\partial y}}}$ und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen

${\displaystyle 0=2uu_{x}+2vv_{x}}$ und ${\displaystyle 0=2uu_{y}+2vv_{y}}$

Mit CR-DGL ${\displaystyle u_{x}=v_{y}}$ und ${\displaystyle u_{y}=-v_{x}}$ ersetzen wird die partiellen Ableitung von ${\displaystyle v}$ durch partielle Ableitungen von ${\displaystyle u}$ und erhalten (Faktor 2 kann entfallen):

${\displaystyle 0=2\cdot (uu_{x}-vu_{x})}$ und ${\displaystyle 0=2\cdot (uu_{y}+vu_{x})}$

Beweis des Lemmas 8

Wir quadrieren die beiden Gleichungen

${\displaystyle 0=(uu_{x}-vu_{y})^{2}=u^{2}u_{x}^{2}-2uu_{x}\cdot vu_{y}+v^{2}u_{y}^{2}}$

${\displaystyle 0=(uu_{y}+vu_{x})^{2}=u^{2}u_{y}^{2}+2uu_{y}\cdot vu_{x}+v^{2}u_{x}^{2}}$

und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu:

${\displaystyle 0=u^{2}u_{x}^{2}+v^{2}u_{y}^{2}+u^{2}u_{y}^{2}+v^{2}u_{x}^{2}}$

Beweis des Lemmas 9

Durch Ausklammern von ${\displaystyle u^{2}}$ und ${\displaystyle v^{2}}$ erhält man:

${\displaystyle 0=u^{2}(u_{x}^{2}+u_{y}^{2})+v^{2}(u_{x}^{2}+u_{y}^{2})=(u^{2}+v^{2})\cdot (u_{x}^{2}+u_{y}^{2})}$

Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt:

${\displaystyle 0=u^{2}+v^{2}\vee 0=u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}$

Beweis des Lemmas 10

• Mit ${\displaystyle u^{2}=-v^{2}}$ folgt ${\displaystyle u=v=0}$ da ${\displaystyle u(x,y)}$ und ${\displaystyle v(x,y)}$ reellwertig sind und damit gilt ${\displaystyle f=u+iv=0}$.
• ${\displaystyle u_{x}^{2}=-u_{y}^{2}}$ folgt ${\displaystyle u_{x}^{2}=u_{y}^{2}=0}$ und ${\displaystyle u_{x}=u_{y}=0}$ und damit ist nach den Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen auch ${\displaystyle f'=0}$

Insgesamt ist also ${\displaystyle f}$ konstant auf ${\displaystyle D_{r}(z_{0})}$.

Beweis 1: V abgeschlossen

Da ${\displaystyle f}$ stetig ist, sind Urbilder von offenen Mengen offen und Urbilder von abgeschlossenen Menge abgeschlossen (in der Relativtopologie in ${\displaystyle G}$). Da die Menge ${\displaystyle \{w\}\subset \mathbb {C} }$ abgeschlossen ist, ist ${\displaystyle V=f^{-1}(\{w\})}$ abgeschlossen in ${\displaystyle G}$.

Beweis 2: V offen

Nach dem Lemma lässt sich die ${\displaystyle V}$ auch als Vereinigung von offen Kreischreiben darstellen und Vereinigungen von beliebigen offenen Mengen wieder offen.

Beweis 3: Zusammenhang

Also ist ${\displaystyle V=G}$ wegen des Zusammenhangs von ${\displaystyle U}$, d. h. ${\displaystyle f}$ ist konstant.

Beweis 4: G beschränkt

Ist ${\displaystyle G}$ beschränkt, so ist ${\displaystyle {\bar {G}}}$ kompakt, also nimmt die stetige Funktion ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle {\bar {G}}}$ ihr Maximum an, etwa an der Stelle ${\displaystyle z_{0}\in {\bar {G}}}$. Ist ${\displaystyle z_{0}\in G}$, so ist ${\displaystyle f}$ nach obigem Lemma auf ${\displaystyle G}$ konstant und damit auf ${\displaystyle {\bar {G}}}$ konstant, also nimmt ${\displaystyle f}$ sein Maximum auch auf ${\displaystyle \partial G}$ an. Anderenfalls ist ${\displaystyle z_{0}\in \partial G}$ und wir sind fertig.