Auswertung der Jacobimatrix in einem Punkt

Dabei liefert die Auswertung der Jacobimatrix in einem Punkt ${\displaystyle (x_{o},y_{o})\in \mathbb {R} ^{2}}$ die totale Ableitung in dem Punkt ${\displaystyle x_{o}+iy_{o}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}(x_{o},y_{o})&{\frac {\partial u}{\partial y}}(x_{o},y_{o})\\{\frac {\partial v}{\partial x}}(x_{o},y_{o})&{\frac {\partial v}{\partial y}}(x_{o},y_{o})\end{pmatrix}}}$

Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen

Eine Funktion ${\displaystyle f}$ ist in ${\displaystyle z_{o}:=x_{o}+iy_{o}}$ genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für ${\displaystyle u,v}$ mit ${\displaystyle u:U_{R}\rightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle v:U_{R}\rightarrow \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle U_{R}\subset \mathbb {R} ^{2}}$ die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(x_{o},y_{o})={\frac {\partial v}{\partial y}}(x_{o},y_{o})}$

${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}(x_{o},y_{o})=-{\frac {\partial v}{\partial x}}(x_{o},y_{o})}$

erfüllt sind.

Teil 1

Wenn der folgende Limes für ${\displaystyle f:G\rightarrow \mathbb {C} }$ für ${\displaystyle z_{o}\in G}$ mit ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ offen existiert

${\displaystyle f'(z_{o})=\lim _{z\rightarrow z_{o}}{\frac {f(z)-f(z_{o})}{z-z_{o}}}}$,

bedeutet ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{o}}...}$, dass für beliebige Folgen ${\displaystyle (z_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ Definitionsbereich ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }z_{n}=z_{o}}$ auch

${\displaystyle f'(z_{o})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(z_{n})-f(z_{o})}{z_{n}-z_{o}}}}$

erfüllt ist.

Teil 2

Man betrachtet nun von diesen beliebigen Folgen nur die Folgen für die beiden folgenden Grenzwertprozessen mit ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$:

${\displaystyle f'(z_{o})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(z_{o}+h)-f(z_{o})}{(z_{o}+h)-z_{o}}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(z_{o}+h)-f(z_{o})}{h}}}$,

${\displaystyle f'(z_{o})=\lim _{ih\rightarrow 0}{\frac {f(z_{o}+ih)-f(z_{o})}{(z_{o}+ih)-z_{o}}}=\lim _{ih\rightarrow 0}{\frac {f(z_{o}+ih)-f(z_{o})}{ih}}}$,

Teil 3: Grenzwertprozess Realteil

Durch Einsetzen der Komponentenfunktionen für den Realteil und Imaginärteil ${\displaystyle u,v}$ ergibt sich mit ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle f'(z_{o})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(z_{o}+h)-f(z_{o})}{h}}=}$

${\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {u(x_{o}+h,y_{o})-u(x_{o},y_{o})}{h}}+i\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {v(x_{o}+h,y_{o})-v(x_{o},y_{o})}{h}}}$

${\displaystyle ={\frac {\partial u}{\partial x}}(x_{o},y_{o})+i{\frac {\partial v}{\partial x}}(x_{o},y_{o})}$

Teil 4: Grenzwertprozess Imaginärteil

Bei der Anwendung auf die zweite Gleichung erhält man mit ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle f'(z_{o})=\lim _{ih\rightarrow 0}{\frac {f(z_{o}+ih)-f(z_{o})}{ih}}}$

${\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {u(x_{o},y_{o}+h)-u(x_{o},y_{o})}{ih}}+i\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {v(x_{o},y_{o}+h)-v(x_{o},y_{o})}{ih}}}$

${\displaystyle =-i\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {u(x_{o},y_{o}+h)-u(x_{o},y_{o})}{h}}+\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {v(x_{o},y_{o}+h)-v(x_{o},y_{o})}{h}}}$,

${\displaystyle =-i{\frac {\partial u}{\partial y}}(x_{o},y_{o})+{\frac {\partial v}{\partial y}}(x_{o},y_{o})}$

Teil 5: Realteil- und Imaginärteilvergleich

Durch Gleichsetzung der Terme von (3) und (4) und Vergleich von Realteil und Imaginärteil erhält man die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.

• Realteil: ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(x_{o},y_{o})={\frac {\partial v}{\partial y}}(x_{o},y_{o})}$
• Imaginärteil: ${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}(x_{o},y_{o})=-{\frac {\partial v}{\partial x}}(x_{o},y_{o})}$

Teil 6: Partielle Ableitung in Richtung Realteil

Die partiellen Ableitungen in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dargestellt werden mit ${\displaystyle f:={\mathfrak {Re}}(f)+i{\mathfrak {Im}}(f)}$, ${\displaystyle {\mathfrak {Re}}(f):\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {\mathfrak {Im}}(f):\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$.

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(z_{o}+h)-f(z_{o})}{h}}\in \mathbb {C} }$,

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathfrak {Re}}(f)}{\partial x}}(z_{o})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\mathfrak {Re}}(f)(z_{o}+h)-{\mathfrak {Re}}(f)(z_{o})}{h}}\in \mathbb {R} }$,

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathfrak {Im}}(f)}{\partial x}}(z_{o})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\mathfrak {Im}}(f)(z_{o}+h)-{\mathfrak {Im}}(f)(z_{o})}{h}}\in \mathbb {R} }$,

Teil 7: Partielle Ableitung in Richtung Imaginärteil

Die partiellen Ableitungen in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dargestellt werden mit ${\displaystyle f:={\mathfrak {Re}}(f)+i{\mathfrak {Im}}(f)}$, ${\displaystyle {\mathfrak {Re}}(f):\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {\mathfrak {Im}}(f):\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$.

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(z_{o}+ih)-f(z_{o})}{h}}\in \mathbb {C} }$,

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathfrak {Re}}(f)}{\partial y}}(z_{o})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\mathfrak {Re}}(f)(z_{o}+ih)-{\mathfrak {Re}}(f)(z_{o})}{h}}\in \mathbb {R} }$,

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathfrak {Im}}(f)}{\partial y}}(z_{o})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\mathfrak {Im}}(f)(z_{o}+ih)-{\mathfrak {Im}}(f)(z_{o})}{h}}\in \mathbb {R} }$.

Teil 8: Cauchy-Riemann-DGL mit Funktionen in ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Die partiellen Ableitungen der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dargestellt werden mit ${\displaystyle f:=f_{x}+if_{y}}$, ${\displaystyle f_{x}:={\mathfrak {Re}}(f)}$, ${\displaystyle f_{y}:={\mathfrak {Im}}(f)}$:

• Realteil: ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathfrak {Re}}(f)}{\partial x}}(z_{o})={\frac {\partial {\mathfrak {Im}}(f)}{\partial y}}(z_{o})}$
• Imaginärteil: ${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial {\mathfrak {Re}}(f)}{\partial y}}(z_{o})=-{\frac {\partial {\mathfrak {Im}}(f)}{\partial x}}(z_{o})}$