Es sei ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und ${\displaystyle z_{0}\in U}$ ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ heißt komplex differenzierbar im Punkt ${\displaystyle z_{0}}$, falls der Grenzwert

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}}$

mit ${\displaystyle h\in \mathbb {C} }$ existiert. Man bezeichnet ihn dann als ${\displaystyle f'(z_{0})}$.

Die Funktion ${\displaystyle f}$ heißt holomorph im Punkt ${\displaystyle z_{0}}$, falls eine Umgebung von ${\displaystyle z_{0}}$ existiert, in der ${\displaystyle f}$ komplex differenzierbar ist. Ist ${\displaystyle f}$ auf ganz ${\displaystyle U}$ holomorph, so nennt man ${\displaystyle f}$ holomorph. Ist weiter ${\displaystyle U=\mathbb {C} }$, so nennt man ${\displaystyle f}$ eine ganze Funktion.

Siehe auch

• Kurs:Funktionentheorie,
• Holomorphe Funktion
• Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen,
• Wirtinger-Ableitungen