Beweis des Lemmas 1

Wenn ${\displaystyle |f|={\sqrt {{\mathfrak {Re}}(f)^{2}+{\mathfrak {Im}}(f)^{2}}}}$ auf ${\displaystyle D_{r}(z_{0})}$ konstant ist, dann muss auch ${\displaystyle {\mathfrak {Re}}(f)^{2}+{\mathfrak {Im}}(f)^{2}=c}$ konstant sein mit einer Konstante ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$.

Beweis des Lemmas 2

Wegen ${\displaystyle f}$ holomorph auf ${\displaystyle D_{r}(z_{0})}$ ist gelten die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen für

${\displaystyle u:={\mathfrak {Re}}(f),\ v:={\mathfrak {Im}}(f)\ {\mbox{ und }}\ f(z):=u(x,y)+i\cdot v(x,y)}$

und es gilt

${\displaystyle {\frac {\partial u(x,y)^{2}+v(x,y)^{2}}{\partial x}}=0{\mbox{ und }}{\frac {\partial u(x,y)^{2}+v(x,y)^{2}}{\partial y}}=0}$

Beweis des Lemmas 3

Ist ${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}}$ und ${\displaystyle u_{y}={\frac {\partial u}{\partial y}}}$ und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen

${\displaystyle 0=2uu_{x}+2vv_{x}}$ und ${\displaystyle 0=2uu_{y}+2vv_{y}}$

Mit CR-DGL ${\displaystyle u_{x}=v_{y}}$ und ${\displaystyle u_{y}=-v_{x}}$ ersetzen wird die partiellen Ableitung von ${\displaystyle v}$ durch partielle Ableitungen von ${\displaystyle u}$ und erhalten (Faktor 2 kann entfallen):

${\displaystyle 0=2\cdot (uu_{x}-vu_{x})}$ und ${\displaystyle 0=2\cdot (uu_{y}+vu_{x})}$

Beweis des Lemmas 4

Wir quadrieren die beiden Gleichungen

${\displaystyle 0=(uu_{x}-vu_{y})^{2}=u^{2}u_{x}^{2}-2uu_{x}\cdot vu_{y}+v^{2}u_{y}^{2}}$

${\displaystyle 0=(uu_{y}+vu_{x})^{2}=u^{2}u_{y}^{2}+2uu_{y}\cdot vu_{x}+v^{2}u_{x}^{2}}$

und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu:

${\displaystyle 0=u^{2}u_{x}^{2}+v^{2}u_{y}^{2}+u^{2}u_{y}^{2}+v^{2}u_{x}^{2}}$

Beweis des Lemmas 5

Durch Ausklammern von ${\displaystyle u^{2}}$ und ${\displaystyle v^{2}}$ erhält man:

${\displaystyle 0=u^{2}(u_{x}^{2}+u_{y}^{2})+v^{2}(u_{x}^{2}+u_{y}^{2})=(u^{2}+v^{2})\cdot (u_{x}^{2}+u_{y}^{2})}$

Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt:

${\displaystyle 0=u^{2}+v^{2}\vee 0=u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}$

Beweis des Lemmas 6

• Mit ${\displaystyle u^{2}=-v^{2}}$ folgt ${\displaystyle u=v=0}$ da ${\displaystyle u(x,y)}$ und ${\displaystyle v(x,y)}$ reellwertig sind und damit gilt ${\displaystyle f=u+iv=0}$.
• ${\displaystyle u_{x}^{2}=-u_{y}^{2}}$ folgt ${\displaystyle u_{x}^{2}=u_{y}^{2}=0}$ und ${\displaystyle u_{x}=u_{y}=0}$ und damit ist nach den Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen auch ${\displaystyle f'=0}$

Insgesamt ist also ${\displaystyle f}$ konstant auf ${\displaystyle G}$.