Der Identitätssatz ist eine Aussage über holomorphe Funktionen, er besagt, dass sie schon unter relativ schwachen Voraussetzungen eindeutig festgelegt ist.

Aussage

Sei ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ ein Gebiet. Für zwei holomorphe Funktionen ${\displaystyle f,g\colon U\to \mathbb {C} }$ sind äquivalent:

1. ${\displaystyle f=g}$
2. Es gibt ein ${\displaystyle z_{0}\in U}$ mit ${\displaystyle f^{(n)}(z_{0})=g^{(n)}(z_{0})}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.
3. Die Menge ${\displaystyle \{z\in U:f(z)=g(z)\}}$ hat einen Häufungspunkt in ${\displaystyle U}$.

Beweis

Durch Betrachtung von ${\displaystyle f-g}$ dürfen wir o. E. annehmen, dass ${\displaystyle g=0}$, das sei im folgenden getan.

(1) ${\displaystyle \Rightarrow }$ (2) ist offensichtlich richtig, gelte nun (2). Betrachte ein Potenzreihenentwicklung ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$ in ${\displaystyle B_{r}(z_{0})}$ mit ${\displaystyle r>0}$. Es ist ${\displaystyle a_{n}={\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}=0}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Also ist ${\displaystyle f|_{B_{r}(z_{0})}=0}$, es folgt (3).

Gelte nun (3), d. h. die Menge der Nullstellen von ${\displaystyle f}$ habe einen Häufungspunkt ${\displaystyle z_{0}\in U}$. Es gebe also eine Folge ${\displaystyle (z_{n})\in U^{\mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle z_{n}\to z_{0}}$ und ${\displaystyle f(z_{n})=0}$ sowie ${\displaystyle z_{n}\neq z_{0}}$, für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Sei nun ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$ die Potenzreihenentwicklung von ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle z_{0}}$. Angenommen, es gäbe ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$, dann gäbe es wegen der Wohlordnungseigenschaft von ${\displaystyle \mathbb {N} }$ auch ein kleinstes solches ${\displaystyle n}$. Es wäre

${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})^{n}\sum _{k=0}^{\infty }a_{n+k}(z-z_{0})^{k},\qquad |z-z_{0}|<r,a_{n}\neq 0}$

Für jedes ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ wäre also

${\displaystyle 0=f(z_{i})=(z_{i}-z_{0})^{n}\sum _{k=0}^{\infty }a_{n+k}(z_{i}-z_{0})^{k}}$

oder wegen ${\displaystyle z_{i}\neq z_{0}}$

${\displaystyle 0=\sum _{k=0}^{\infty }a_{n+k}(z_{i}-z_{0})^{k}\to a_{n},\qquad i\to \infty }$

im Widerspruch zu ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$. Also ist ${\displaystyle a_{n}=0}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und damit ${\displaystyle f^{(n)}(z_{0})=0}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, d. h. (2) gilt.

Gilt (2), setze ${\displaystyle V:=\bigcap _{n\geq 0}\{f^{(n)}=0\}}$. ${\displaystyle V}$ ist abgeschlossen in ${\displaystyle U}$, da die ${\displaystyle f^{(n)}}$ stetig sind, ${\displaystyle V}$ ist offen in ${\displaystyle U}$, da in jedem ${\displaystyle w\in V}$ die Potenzreihenentwicklung von ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle w}$ verschwindet, also ist ${\displaystyle f}$ lokal um ${\displaystyle w}$ gleich ${\displaystyle 0}$. Wegen ${\displaystyle z_{0}\in V}$ ist ${\displaystyle V}$ nichtleer und damit ${\displaystyle V=U}$ wegen des Zusammenhangs von ${\displaystyle U}$.