Der Residuensatz besagt, wie man das Integral einer holomorphen Funktion mit Hilfe Ihrer Residuen berechnen kann.

Aussage

Es sei ${\displaystyle f}$ eine auf einem Gebiet ${\displaystyle G}$ mit Ausnahme einer diskrete Menge von isolierten Singularitäten ${\displaystyle S\subseteq G}$ holomorphe Funktion und ${\displaystyle \Gamma }$ ein in ${\displaystyle G}$ nullhomologer Zyklus, der keinen Punkt von ${\displaystyle S}$ trifft. Dann gilt

${\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{z\in S}n(\Gamma ,z)\mathrm {res} _{z}f.}$

Beweis

Die Summe ist endlich, da ${\displaystyle \Gamma }$ nur endlich viele Punkte der diskreten Menge ${\displaystyle S}$ umlaufen kann, seien etwa ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$ die Punkte in ${\displaystyle S}$ für die ${\displaystyle n(\Gamma ,z_{i})\neq 0}$ gilt. Es bezeichne ${\displaystyle T:=\{z\in S:n(\Gamma ,z)=0\}}$ die übrigen Punkte von ${\displaystyle S}$ Dann ist ${\displaystyle \Gamma }$ auch nullhomolog in ${\displaystyle G\setminus T}$ (nach der Definition von ${\displaystyle T}$). Für ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$ sei

${\displaystyle h_{i}(z)=\sum _{j=-1}^{-\infty }a_{ij}(z-z_{i})^{j}}$

der Hauptteil der Laurententwicklung von ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle z_{i}}$. Es ist ${\displaystyle h_{i}}$ eine auf ${\displaystyle \mathbf {C} \setminus \{z_{i}\}}$ holomorphe Funktion, die Funktion

${\displaystyle g:=f-\sum _{i=1}^{k}h_{i}}$

ist auf ${\displaystyle G\setminus T}$ holomorph fortsetzbar (die ${\displaystyle z_{i}}$ sind für ${\displaystyle g}$ hebbare Singularitäten). Es folgt nach dem Integralsatz von Cauchy folgt

${\displaystyle \int _{\Gamma }g(z)\,dz=0}$

also ist, nach Definition von ${\displaystyle g}$,

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\,dz&=&\displaystyle \int _{\Gamma }g(z)\,dz+\sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma }h_{i}(z)\,dz\\&=&\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma }h_{i}(z)\,dz.\end{array}}}$

Für ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$ ist nun

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{\Gamma }h_{i}(z)\,dz&=&\displaystyle \sum _{j=-\infty }^{-i}a_{ij}\int _{\Gamma }(z-z_{i})^{j}\\&=&\displaystyle a_{i,-1}\int _{\Gamma }(z-z_{i})^{-1}\,dz\\&=&\displaystyle a_{i,-1}2\pi \cdot i\cdot n(\Gamma ,z_{i})\\&=&\displaystyle 2\pi \cdot i\cdot n(\Gamma ,z_{i})\cdot \mathrm {res} _{z_{i}}f\end{array}}}$

nach Definition der Umlaufzahl. Es folgt, dass

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\,dz&=&\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma }h_{i}(z)\,dz\\&=&\displaystyle 2\pi i\sum _{i=1}^{k}n(\Gamma ,z_{i})\mathrm {res} _{z_{i}}f\end{array}}}$

und das war die Behauptung.

Fragen zum Residuensatz

• Sei ${\displaystyle f:G\rightarrow {\widehat {\mathbb {C} }}}$ eine meromorphe Funktion (d.h. holomorph bis auf eine diskrete Menge von Singularitäten in ${\displaystyle G}$), Warum umrundet der Zyklus ${\displaystyle \Gamma }$ nur endlich viele Pole?

Anwendungen

• Das Null- und Polstellen zählende Integral zählt die Null- und Polstellen einer meromorphen Funktion