Darstellung der Laurentreihe durch 2 holomorphe Funktionen

Seien ${\displaystyle g:G\rightarrow \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle h:G\rightarrow \mathbb {C} }$ zwei holomorphe Funktionen mit Entwicklungspunkt ${\displaystyle z_{0}\in G}$

${\displaystyle f(z):=g(z-z_{o})+{\hat {h}}(z-z_{o})}$ mit ${\displaystyle {\hat {h}}(z):=h(1/z)}$

${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ sind holomorphe Funktionen auf ${\displaystyle G_{o}:=\{z-z_{o}\in \mathbb {C} \ |\ z\in G\}}$, die sich um 0 in eine Potenzreihe in ${\displaystyle G_{o}}$ entwickeln lassen.

Schnittmenge von Konvergenzbereichen

Wenn bei ${\displaystyle f(z)}$ der Hauptteil ${\displaystyle g(z)}$ und der ${\displaystyle {\hat {h}}(z)}$ konvergent sein ${\displaystyle z}$ im Schnitt der Konvergenzmenge liegen. Ist ${\displaystyle r>R}$ ist die Konvergenzmenge leer, da ${\displaystyle z}$ zugleich auf einer Kreisscheibe von Radius ${\displaystyle R}$ und im Komplement der Kreisscheibe mit Radius ${\displaystyle r}$ liegen muss.

Konvergenzradien

Seien ${\displaystyle R_{g}>0}$ und ${\displaystyle R_{h}>0}$ die Konvergenzradien für die Funktionen ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$. Berechen Sie den Radius ${\displaystyle R_{\hat {h}}>0}$ der Konvergenzmenge von ${\displaystyle {\hat {h}}(z):=h(1/z)}$ für den alle ${\displaystyle z\in G_{o}}$ mit ${\displaystyle |z|>R_{\hat {h}}>0}$ konvergieren.

Zerlegung mit Entwicklungspunkt

Erweitert man diese Überlegungen nun auf die Entwicklung um einen Punkt ${\displaystyle c}$, und nicht so wie eben um den Ursprung, so ergibt sich die eingangs angeführte Definition der Laurent-Reihe für eine holomorphe Funktion ${\displaystyle f}$ um den Entwicklungspunkt ${\displaystyle c}$:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$

Einsetzen in Taylorreihe

Indem man nun ${\textstyle z=-{\frac {1}{x^{2}}}}$ in die Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion einsetzt,

${\displaystyle exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{n}}{n!}}}$

erhält man die Laurent-Reihe von ${\textstyle f}$ mit Entwicklungspunkt ${\textstyle 0}$:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{-2n}}{n!}}=\underbrace {\sum _{n=-\infty }^{-1}{\frac {(-1)^{n}}{(-n)!}}x^{2n}} _{\mbox{Hauptteil}}+1}$

Konvergenzbereich Laurentreihe

Der Nebenteil ${\displaystyle g(x)=1}$ konvergiert auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ und der Hauptteil (und damit auch die Laurent-Reihe insgesamt) konvergiert für jede komplexe Zahl ${\textstyle x\neq 0}$.

Approximation der Funktion durch Partial-Summen

Annäherung der Laurentreihen über Partialsummen

Das Bild zeigt, wie sich die Partialsummenfolge

${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\frac {x^{-2j}}{j!}}}$

an die Funktion annähert.

Graphen der Partial-Summen im Vergleich zur Funktion

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Da Graphen in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ Teilmengen von 4-dimensionalen ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektoräumen sind, wird hier der Graph für Werte aus ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ geplottet. Die Laurententwicklung lässt sich in 0 stetig fortsetzen.

Kreisringe und Kreisscheibe

Laurent-Reihen beschreiben komplexe Funktionen, die auf einem Kreisring holomorph sind, so wie Potenzreihen Funktionen beschreiben, die auf einer Kreisscheibe holomorph sind.

Sei

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$

eine Laurent-Reihe in ${\displaystyle z}$ mit komplexen Koeffizienten ${\displaystyle a_{n}}$ und Entwicklungspunkt ${\displaystyle c}$.

Konvergenzradien - Inneres vom Kreisring

Es gibt es zwei eindeutig bestimmte Zahlen ${\displaystyle r}$ und ${\displaystyle R}$, so dass Folgendes gilt:

Die Laurent-Reihe konvergiert auf dem offenen Kreisring ${\displaystyle A:=\{z:r<\vert z-c\vert <R\}}$ normal, also insbesondere absolut und lokal gleichmäßig. Damit meint man, dass Haupt- und Nebenteil normal konvergieren. Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert gleichmäßige Konvergenz auf jeder kompakten Teilmenge von ${\displaystyle A}$, also insbesondere auf den Bildern von Kurven in ${\displaystyle A}$. Die Laurent-Reihe definiert auf ${\displaystyle A}$ eine holomorphe Funktion ${\displaystyle f}$.

Außerhalb vom Kreisring

Außerhalb des Kreisrings divergiert die Laurent-Reihe. Das heißt, dass für jeden Punkt im Äußeren von ${\displaystyle A}$ mit

${\displaystyle \mathbb {C} \setminus {\overline {A}}:=\{z:r>\vert z-c\vert \vee \vert z-c\vert >R\}}$,

die Reihe der Terme mit positiven (Nebenteil) oder die Terme mit negativen Exponenten (Hauptteil) divergiert.

Rand von Kreisringen

Auf dem Rand des Kreisrings kann man keine allgemeinen Aussagen machen, außer dass es mindestens einen Punkt auf der äußeren Begrenzung und mindestens einen Punkt auf der inneren Begrenzung gibt, in die ${\displaystyle f}$ nicht holomorph fortgesetzt werden kann.

Es ist möglich, dass ${\displaystyle r=0}$ und ${\displaystyle R=\infty }$ ist, es kann aber auch sein, dass ${\displaystyle r=R}$ ist.

Konvergenzradien und Cauchy-Hadamard

Die beiden Radien können wie folgt mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnet werden:

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }\vert a_{-n}\vert ^{1/n}}$

${\displaystyle R={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }\vert a_{n}\vert ^{1/n}}}}$

Man setzt ${\displaystyle {\frac {1}{0}}=\infty }$ und ${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}=0}$ in der zweiten Formel.

Auf Kreisringen definierte Funktionen

Umgekehrt kann man mit einem Kreisring ${\displaystyle A:=\{z:r<\vert z-c\vert <R\}}$ und einer auf ${\displaystyle A}$ holomorphen Funktion ${\displaystyle f}$ beginnen. Dann existiert immer eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt ${\displaystyle c}$, die (mindestens) auf ${\displaystyle A}$ konvergiert und dort mit ${\displaystyle f}$ übereinstimmt. Für die Koeffizienten gilt

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{\varrho }(c)}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -c\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta }$

für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ und ein ${\displaystyle \varrho \in (r,R)}$. Wegen des Integralsatzes von Cauchy kommt es auf die Auswahl von ${\displaystyle \varrho }$ nicht an.

Gelochte Kreisscheibe

Der Fall ${\displaystyle r=0}$, also der einer holomorphen Funktion ${\displaystyle f}$ auf einer gelochten Kreisscheibe um ${\displaystyle c}$, ist besonders wichtig. Der Koeffizient ${\displaystyle a_{-1}}$ der Laurentreihenentwicklung von ${\displaystyle f}$ heißt Residuum von ${\displaystyle f}$ in der isolierten Singularität ${\displaystyle c}$, er spielt eine große Rolle im Residuensatz.

Laurent-Reihen auf kommutativen Ringen

Die Koeffizienten ${\textstyle a_{k}}$ können dann aus einem beliebigen kommutativen Ring stammen. In dieser Situation ist es jedoch nur sinnvoll, Laurent-Reihen mit nur endlich vielen negativen Exponenten zu betrachten, also mit einem so genannten endlichen Hauptteil, und die Entwicklungsstelle mit ${\textstyle c=0}$ wegzulassen.

Gleichheit von formalen Laurent-Reihen

Zwei solche formale Laurent-Reihen sind per Definition genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Zwei Laurent-Reihen werden addiert, indem ihre entsprechenden Koeffizienten addiert werden und weil sie nur endlich viele Terme mit negativem Exponenten haben, können sie durch Faltung ihrer Koeffizientenfolgen multipliziert werden, so wie es mit Potenzreihen gemacht wird. Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge aller Laurent-Reihen über einem kommutativen Ring ${\textstyle R}$ zu einem kommutativen Ring, der mit ${\textstyle R\left(\!\left(X\right)\!\right)}$ bezeichnet wird.

Laurent-Reihen und Itegritätsringe

Ist ${\displaystyle K}$ ein Körper, dann bilden die formalen Potenzreihen in der Unbestimmten ${\textstyle X}$ über ${\textstyle K}$ einen Integritätsring, der mit ${\displaystyle K\left[\!\left[X\right]\!\right]}$ bezeichnet wird. Sein Quotientenkörper ist isomorph zum Körper ${\textstyle K\left(\!\left(X\right)\!\right)}$ der Laurent-Reihen über ${\textstyle K}$.

Aufgaben zu Laurent-Reihen und b-adischen Zahlsystemen

• Analysieren Sie den Zusammenhang zwischen Laurent-Reihen und dem p-adischen Zahlensystem (z.B. Dualsysstem, Hexaldezimalsystem)! Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede gibt es?
• Stellen Sie die Zahl ${\displaystyle {\frac {1}{7}}}$ als Funktionswert einer Laurent-Reihe im 4er-Zahlensystem ${\displaystyle x=4}$ dar, wobei ${\displaystyle c_{n}\in \{0,1,2,3\}}$ gilt und berechnen Sie die Koeffizienten ${\displaystyle c_{n}}$!

${\displaystyle f(x):=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}\cdot z^{n}}$ dar