Aussage

Es sei ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$ ein konvexes Gebiet, ${\displaystyle \gamma }$ ein in ${\displaystyle G}$ geschlossener rektifizierbarer Weg. Dann ist für jede holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0}$

Beweis 1: Stammfunktion von f

Wir bemerken zunächst, dass ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle G}$ eine Stammfunktion besitzt. Sei dazu ${\displaystyle z_{0}\in G}$ fest gewählt. Für jeden Punkt ${\displaystyle z\in G}$ bezeichne ${\displaystyle [z_{0},z]}$ die direkte Verbindungsstrecke von ${\displaystyle z_{0}}$ und ${\displaystyle z}$.

Beweis 2: Definition der Stammfunktion

Wir definieren ${\displaystyle F\colon G\to \mathbb {C} }$ durch

${\displaystyle F(z):=\int _{[z_{0},z]}f(\zeta )\,d\zeta }$.

Für ${\displaystyle z,w\in G}$ liegt wegen der Konvexität das Dreieck ${\displaystyle D}$ mit den Ecken ${\displaystyle z_{0},z,w}$ ganz in ${\displaystyle G}$.

Beweis 3: Anwendung des Lemma von Goursat

Es folgt nach dem Lemma von Goursat über die Integration über den Rand ${\displaystyle \partial \Delta }$ eines Dreiecks ${\displaystyle \Delta }$ mit den Ecken ${\displaystyle z_{0},z,w\in \mathbb {C} }$, dass

${\displaystyle {\begin{array}{rl}0&=\int _{\partial \Delta }f(z)\,dz\\&=\int _{[z_{0},z]}f(\zeta )\,d\zeta -\int _{[z_{0},w]}f(\zeta )\,d\zeta +\int _{[z,w]}f(\zeta )\,d\zeta \\&=F(z)-F(w)+\int _{[z,w]}f(\zeta )\,d\zeta \end{array}}}$

Beweis 4: Anwendung des Lemma von Goursat

Damit erhält man:

${\displaystyle {\begin{array}{rl}F(z)-F(w)&=\int _{[w,z]}f(\zeta )\,d\zeta \\&=\int _{0}^{1}f{\bigl (}w+t(z-w){\bigr )}\cdot (z-w)\,dt\\&=\underbrace {\int _{0}^{1}f{\bigl (}w+t(z-w){\bigr )}\,dt} _{A(z):=}\cdot (z-w)\end{array}}}$

Also ist:

${\displaystyle A(z)={\frac {F(z)-F(w)}{(z-w)}}}$

Beweis 5: Grenzwertprozess

Da ${\displaystyle A}$ eine stetige Funktion in ${\displaystyle w}$ ist, gilt mit Übergang zum Grenzwertprozess ${\displaystyle z\to w}$:

${\displaystyle A(w)=\lim _{z\to w}\,A(z)=\lim _{z\to w}\,{\frac {F(z)-F(w)}{(z-w)}}=F'(w)}$

Beweis 5:

Dann ist ${\displaystyle A\colon G\to \mathbb {C} }$ stetig. Es folgt, dass ${\displaystyle F}$ in ${\displaystyle w\in G}$ differenzierbar mit

${\displaystyle F'(w)=A(w)=\int _{0}^{1}f(w)\,dt=f(w).}$

Da ${\displaystyle w\in G}$ beliebig war, folgt ${\displaystyle F'=f}$ und ${\displaystyle f}$ hat eine Stammfunktion, was wir zeigen wollten.

Beweis 6:

Sei nun ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to G}$ ein stückweise stetig differenzierbarer, geschlossener Weg. Dann ist

${\displaystyle {\begin{array}{rl}\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz&=\displaystyle \int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}F'(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}(F\circ \gamma )'(t)\,dt\\&=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))=0\end{array}}}$

Beweis 7:

Sei nun ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to G}$ ein beliebiger Integrationweg in ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle \epsilon >0}$. Wir wählen, wie hier gezeigt, einen Streckenzug ${\displaystyle {\hat {\gamma }}\colon [a,b]\to \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle {\hat {\gamma }}(a)=\gamma (a)}$, ${\displaystyle {\hat {\gamma }}(b)=\gamma (b)}$ und ${\displaystyle \left|\int _{\hat {\gamma }}f(z)\,dz-\int _{\gamma }f(z)\,dz\right|<\epsilon }$. Da Streckenzüge stückweise stetig differenzierbar sind, folgt nach dem oben gezeigten, dass ${\displaystyle \int _{\hat {\gamma }}f(z)\,dz=0}$. Also ist ${\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(z)\,dz\right|<\epsilon }$. Da ${\displaystyle \epsilon >0}$ beliebig war, folgt die Behauptung.

Aussage

Es sei ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$ offen, ${\displaystyle \Gamma }$ ein in ${\displaystyle G}$ nullhomologer Zyklus. Dann ist für jede holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\,dz=0}$

Beweis

Sei ${\displaystyle w\in G\setminus \mathrm {Spur} (\Gamma )}$, definiere ${\displaystyle g\colon G\to \mathbb {C} }$ durch

${\displaystyle g(z):=(z-w)\cdot f(z)}$

dann ist ${\displaystyle g}$ holomorph und nach der globalen Integralformel folgt

${\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\,dz=\int _{\Gamma }{\frac {g(z)}{z-w}}\,dz=2\pi i\cdot n(\Gamma ,w)\cdot g(w)=0.}$