Beispiele

• Ist ${\displaystyle \gamma }$ stetig differenzierbar, so ist ${\displaystyle \gamma }$ rektifizierbar. Seien nämlich ${\displaystyle a\leq t_{0}<\ldots <t_{n}\leq b}$, dann gibt es nach dem Mittelwertsatz ${\displaystyle \tau _{i}\in (t_{i-1},t_{i})}$ so, dass ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1})|=\sum _{i=1}^{n}|{\gamma '(\tau _{i})}|(t_{i}-t_{i-1})}$Die rechte Seite obiger Gleichung ist eine Riemannsche Summe für ${\displaystyle \int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\,dt}$, also ist ${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\,dt<\infty }$da ${\displaystyle \gamma '}$ als stetige Funktion auf dem kompakten Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ beschränkt ist.
• Allgemeiner sind stückweise ${\displaystyle C^{1}}$-Kurven stets rektifizierbar, man wende obige Überlegung auf die einzelnen Teile der Kurve an.
• Als Beispiel für eine nicht rektifizierbare Kurve betrachte ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \mathbb {C} }$, ${\displaystyle t\mapsto \left\{{\begin{array}{ll}0&t=0\\t+it\cos t^{-1}&t>0\end{array}}\right.}$Zunächst ist ${\displaystyle \gamma }$ stetig und auf jedem Intervall ${\displaystyle [\epsilon ,1]}$ sogar stetig differenzierbar. Auf diesen Intervallen ergibt sich die Länge ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\gamma |_{[\epsilon ,1]})=\int _{\epsilon }^{1}\left|1-{\frac {i}{t}}\sin t^{-1}\right|\,dt.}$Für ${\displaystyle \epsilon >0}$ konvergiert dies gegen ${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(1+{\frac {1}{t^{2}}}\sin ^{2}t^{-1}\right)^{1/2}\,dt=\infty }$also ist ${\displaystyle \gamma }$ nicht rektifizierbar.