Es sei ${\displaystyle {}T=[a,\infty ]}$ (oder ${\displaystyle T=[-\infty ,a]}$) ein rechtsseitig (bzw. linksseitig) unbeschränktes Intervall und

${\displaystyle f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine Funktion. Dann heißt ${\displaystyle {}b\in \mathbb {R} }$ Grenzwert (oder Limes) von ${\displaystyle {}f}$ für ${\displaystyle {}x\rightarrow +\infty }$ (bzw. ${\displaystyle x\rightarrow -\infty }$), wenn es für jedes ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ ein ${\displaystyle {}x_{0}\geq a}$ (bzw. ${\displaystyle x_{0}\leq a}$) gibt mit ${\displaystyle {}\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon }$ für alle ${\displaystyle {}x\geq x_{0}}$ (bzw. ${\displaystyle x\leq x_{0}}$). In diesem Fall schreibt man

${\displaystyle \operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)=b}$

(bzw. ${\displaystyle \operatorname {lim} _{x\rightarrow -\infty }\,f(x)=b}$).

Es sei ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ ein Intervall, ${\displaystyle {}r}$ ein (uneigentlicher) Randpunkt von ${\displaystyle {}I}$ und ${\displaystyle {}a\in I}$. Es sei eine stetige Funktion

${\displaystyle f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

gegeben. Man sagt, dass das uneigentliche Integral zu ${\displaystyle {}f}$ für ${\displaystyle {}x\rightarrow r}$ existiert, wenn der Grenzwert

${\displaystyle \operatorname {lim} _{x\rightarrow r}\,\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$

existiert. In diesem Fall schreibt man für diesen Grenzwert auch

${\displaystyle \int _{a}^{r}f(t)\,dt}$

und nennt dies das uneigentliche Integral von ${\displaystyle {}a}$ nach ${\displaystyle {}r}$

Es sei ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ ein Intervall mit den beiden (uneigentlichen) Randpunkten ${\displaystyle {}r}$ und ${\displaystyle {}s}$ von ${\displaystyle {}I}$. Es sei eine stetige Funktion

${\displaystyle f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

gegeben. Man sagt, dass das (beidseitig) uneigentliche Integral

${\displaystyle \int _{r}^{s}f(t)\,dt}$

existiert, wenn für ein ${\displaystyle {}a\in I}$ die beiden einseitig uneigentlichen Integrale

${\displaystyle \int _{r}^{a}f(t)\,dt\,\,{\text{ und }}\,\,\int _{a}^{s}f(t)\,dt}$

existieren. In diesem Fall setzt man

${\displaystyle \int _{r}^{s}f(t)\,dt:=\int _{r}^{a}f(t)\,dt+\int _{a}^{s}f(t)\,dt}$

und nennt dies das uneigentliche Integral zu ${\displaystyle {}f}$ von ${\displaystyle {}r}$ nach ${\displaystyle {}s}$.

Die Riemannsche ${\displaystyle {}\zeta }$-Funktion ist für ${\displaystyle {}s\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle {}s>1}$ durch

${\displaystyle {}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,}$

definiert.

Für ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {}x>-1}$, heißt die Funktion

${\displaystyle x\longmapsto \operatorname {Fak} \,(x):=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt}$

die Fakultätsfunktion.

Sei ${\displaystyle {}V}$ ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ${\displaystyle {}V}$ ist eine Abbildung

${\displaystyle V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}$

mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist

   ${\displaystyle {}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,}$

   für alle ${\displaystyle {}\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {}x_{1},x_{2}\in V}$ und ebenso in der zweiten Komponente.

2. Es ist

   ${\displaystyle {}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,}$

   für alle ${\displaystyle {}v,w\in V}$.

3. Es ist ${\displaystyle {}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0}$ für alle ${\displaystyle {}v\in V}$ und ${\displaystyle {}\left\langle v,v\right\rangle =0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}v=0}$ ist.

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.

Sei ${\displaystyle {}V}$ ein komplexer Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ${\displaystyle {}V}$ ist eine Abbildung

${\displaystyle V\times V\longrightarrow \mathbb {C} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}$

mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist

   ${\displaystyle {}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,}$

   für alle ${\displaystyle {}\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle {}x_{1},x_{2},y\in V}$ und

   ${\displaystyle {}\left\langle x,\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}\right\rangle ={\overline {\lambda _{1}}}\left\langle x,y_{1}\right\rangle +{\overline {\lambda _{2}}}\left\langle x,y_{2}\right\rangle \,}$

   für alle ${\displaystyle {}\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle {}x,y_{1},y_{2}\in V}$.

2. Es ist

   ${\displaystyle {}\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\,}$

   für alle ${\displaystyle {}v,w\in V}$.

3. Es ist ${\displaystyle {}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0}$ für alle ${\displaystyle {}v\in V}$ und ${\displaystyle {}\left\langle v,v\right\rangle =0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}v=0}$ ist.

Das auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {C} ^{n}}$ durch

${\displaystyle {}\left\langle u,v\right\rangle$ :=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\overline {v_{i}}}\,}

gegebene Skalarprodukt heißt (komplexes) Standardskalarprodukt.

Sei ${\displaystyle {}V}$ ein Vektorraum über ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$ mit einem Skalarprodukt ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$. Dann nennt man zu einem Vektor ${\displaystyle {}v\in V}$ die reelle Zahl

${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,}$

die Norm von ${\displaystyle {}v}$.

Sei ${\displaystyle {}V}$ ein Vektorraum über ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$ mit einem Skalarprodukt ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$. Zu zwei Vektoren ${\displaystyle {}v,w\in V}$ nennt man

${\displaystyle {}d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert \,}$

den Abstand zwischen ${\displaystyle {}v}$ und ${\displaystyle {}w}$.

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ euklidische Vektorräume und sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

eine lineare Abbildung. Dann heißt ${\displaystyle {}\varphi }$ eine Isometrie, wenn für alle ${\displaystyle {}v,w\in V}$ gilt:

${\displaystyle {}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.}$

Sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge. Eine Abbildung ${\displaystyle {}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$ heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle ${\displaystyle {}x,y,z\in M}$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. ${\displaystyle {}d{\left(x,y\right)}=0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}x=y}$ ist (Definitheit),
2. ${\displaystyle {}d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}}$ (Symmetrie), und
3. ${\displaystyle {}d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}}$ (Dreiecksungleichung).

Ein metrischer Raum ist ein Paar ${\displaystyle {}(M,d)}$, wobei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge und ${\displaystyle {}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$ eine Metrik ist.

Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum, ${\displaystyle {}x\in M}$ und ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ eine positive reelle Zahl. Es ist

${\displaystyle {}U{\left(x,\epsilon \right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<\epsilon \right\}}\,}$

die offene und

${\displaystyle {}B\left(x,\epsilon \right)={\left\{y\in M\mid d(x,y)\leq \epsilon \right\}}\,}$

die abgeschlossene ${\displaystyle {}\epsilon }$-Kugel um ${\displaystyle {}x}$.

Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge ${\displaystyle {}U\subseteq M}$ heißt offen (in ${\displaystyle (M,d)}$), wenn für jedes ${\displaystyle {}x\in U}$ ein ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ mit

${\displaystyle {}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,}$

existiert.

Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge ${\displaystyle {}A\subseteq M}$ heißt abgeschlossen, wenn das Komplement ${\displaystyle {}M\setminus A}$ offen ist.

Eine Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ eines metrischen Raumes ${\displaystyle {}M}$ heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl ${\displaystyle {}b}$ mit

${\displaystyle d{\left(x,y\right)}\leq b{\text{ für alle }}x,y\in T}$

gibt.

Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum und sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle {}M}$. Man sagt, dass die Folge gegen ${\displaystyle {}x\in M}$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {}\epsilon >0}$, gibt es ein ${\displaystyle {}n_{0}\in \mathbb {N} }$ derart, dass für alle ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$ die Beziehung

${\displaystyle {}d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon \,}$

gilt. In diesem Fall heißt ${\displaystyle {}x}$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${\displaystyle {}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.}$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.

Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum und sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle {}M}$. Ein Punkt ${\displaystyle {}x\in M}$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ unendlich viele Folgenglieder ${\displaystyle {}x_{n}}$ mit ${\displaystyle {}d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon }$ gibt.

Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum und sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle {}M}$. Zu jeder streng wachsenden Abbildung ${\displaystyle {}\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} }$, ${\displaystyle {}i\longmapsto n_{i}}$, heißt die Folge

${\displaystyle i\longmapsto x_{n_{i}}}$

eine Teilfolge der Folge.

Seien ${\displaystyle {}(L,d_{1})}$ und ${\displaystyle {}(M,d_{2})}$ metrische Räume,

${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M}$

eine Abbildung und ${\displaystyle {}x\in L}$. Die Abbildung ${\displaystyle {}f}$ heißt stetig in ${\displaystyle {}x}$, wenn für jedes ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ ein ${\displaystyle {}\delta >0}$ derart existiert, dass

${\displaystyle {}f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,}$

gilt. Die Abbildung ${\displaystyle {}f}$ heißt stetig, wenn sie stetig in ${\displaystyle {}x}$ für jedes ${\displaystyle {}x\in L}$ ist.

Zwei metrische Räume ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$ heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon L\longrightarrow M}$

gibt, deren Umkehrabbildung ${\displaystyle {}\varphi ^{-1}}$ ebenfalls stetig ist.

Eine Funktion

${\displaystyle f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

die man als eine Summe der Form

${\displaystyle {}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x^{\nu }=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,}$

mit ${\displaystyle {}a_{\nu }\in {\mathbb {K} }}$ schreiben kann, wobei nur endlich viele ${\displaystyle {}a_{\nu }\neq 0}$ sind, heißt polynomiale Funktion.

Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum und ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ eine Teilmenge. Ein Punkt ${\displaystyle {}a\in M}$ heißt Berührpunkt von ${\displaystyle {}T}$, wenn zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ der Durchschnitt

${\displaystyle {}T\cap U{\left(a,\epsilon \right)}\neq \emptyset \,.}$

Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum und ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ eine Teilmenge. Die Menge aller Berührpunkte von ${\displaystyle {}T}$ heißt der Abschluss von ${\displaystyle {}T}$. Er wird mit ${\displaystyle {}{\overline {T}}}$ bezeichnet.

Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum, sei ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ eine Teilmenge und sei ${\displaystyle {}a\in M}$ ein Berührpunkt von ${\displaystyle {}T}$. Es sei

${\displaystyle f\colon T\longrightarrow L}$

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${\displaystyle {}L}$. Dann heißt ${\displaystyle {}b\in L}$ der Grenzwert (oder Limes) von ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}a}$, wenn es für jedes ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ ein ${\displaystyle {}\delta >0}$ gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ${\displaystyle {}x\in B\left(a,\delta \right)\cap T}$ ist ${\displaystyle {}f(x)\in B\left(b,\epsilon \right)}$. In diesem Fall schreibt man

${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.}$

Ein metrischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es genau zwei Teilmengen von ${\displaystyle {}X}$ gibt (nämlich ${\displaystyle {}\emptyset }$ und ${\displaystyle {}X}$ selbst), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Ein nichtleerer metrischer Raum ${\displaystyle {}X}$ heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten ${\displaystyle {}x,y\in X}$ eine stetige Abbildung

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\longrightarrow X}$

mit ${\displaystyle {}\gamma (a)=x}$ und ${\displaystyle {}\gamma (b)=y}$ gibt.

Es sei

${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),}$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$. Dann heißt ${\displaystyle {}f}$ gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ ein ${\displaystyle {}\delta >0}$ gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle ${\displaystyle {}x,x'\in L}$ mit ${\displaystyle {}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta }$ ist ${\displaystyle {}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon }$.

Es sei

${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),}$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$. Die Abbildung heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl ${\displaystyle {}c\geq 0}$ mit

${\displaystyle {}d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,}$

für alle ${\displaystyle {}x,y\in L}$ gibt.

Es sei

${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),}$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$. Dann heißt ${\displaystyle {}f}$ stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative reelle Zahl ${\displaystyle {}c<1}$ gibt mit

${\displaystyle {}d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,}$

für alle ${\displaystyle {}x,y\in L}$.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge und

${\displaystyle f\colon M\longrightarrow M}$

eine Abbildung. Ein Element ${\displaystyle {}x\in M}$ mit ${\displaystyle {}f(x)=x}$ heißt Fixpunkt der Abbildung.

Eine Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}M}$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {}\epsilon >0}$, gibt es ein ${\displaystyle {}n_{0}\in \mathbb {N} }$ derart, dass für alle ${\displaystyle {}n,m\geq n_{0}}$ die Beziehung

${\displaystyle {}d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\leq \epsilon \,}$

gilt.

Ein metrischer Raum ${\displaystyle {}M}$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ${\displaystyle {}M}$ konvergiert.

Eine Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Es sei ${\displaystyle {}I}$ ein reelles Intervall, ${\displaystyle {}V}$ ein euklidischer Vektorraum und

${\displaystyle f\colon I\longrightarrow V}$

eine Abbildung. Dann heißt ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}t\in I}$ differenzierbar, wenn der Limes

${\displaystyle \operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}}$

existiert. Dieser Limes heißt dann die Ableitung von ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}t}$ und wird mit

${\displaystyle f'(t)}$

bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}I}$ ein reelles Intervall, ${\displaystyle {}V}$ ein euklidischer Vektorraum und

${\displaystyle f\colon I\longrightarrow V}$

eine Abbildung. Dann heißt ${\displaystyle {}f}$ differenzierbar, wenn ${\displaystyle {}f}$ in jedem Punkt ${\displaystyle {}t\in I}$ differenzierbar ist. Die Abbildung

${\displaystyle I\longrightarrow V,\,t\longmapsto f'(t),}$

heißt dann die Ableitung von ${\displaystyle {}f}$.

Es sei ${\displaystyle {}[a,b]}$ ein kompaktes Intervall und

${\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

eine Abbildung. Zu einer Unterteilung

${\displaystyle a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b}$

nennt man

${\displaystyle {}[P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}]=[f(t_{0}),f(t_{1}),\ldots ,f(t_{k})]\,}$

den zugehörigen Streckenzug.

Zu einer Punktfolge

${\displaystyle {}P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}\in \mathbb {R} ^{n}\,}$

nennt man

${\displaystyle L(P_{0},\ldots ,P_{k})=\sum _{i=1}^{k}d{\left(P_{i},P_{i-1}\right)}}$

die Gesamtlänge des Streckenzugs ${\displaystyle {}[P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}]}$.

Es sei ${\displaystyle {}[a,b]}$ ein kompaktes Intervall und

${\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

eine Abbildung. Dann nennt man

${\displaystyle L(f)={\operatorname {sup} \,(L(f(t_{0}),\ldots ,f(t_{k})),a=t_{0}\leq t_{1}\leq \ldots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b{\text{ Unterteilung}},\,k\in \mathbb {N} )}}$

die Kurvenlänge von ${\displaystyle {}f}$. Wenn ${\displaystyle {}L(f)}$ endlich ist, so heißt die Kurve ${\displaystyle {}f}$ rektifizierbar.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ ein reelles Intervall und ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ eine offene Menge. Dann nennt man eine Abbildung

${\displaystyle f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),}$

ein Vektorfeld (auf ${\displaystyle {}U}$).

Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,

${\displaystyle F\colon U\longrightarrow V}$

ein stetiges Vektorfeld und

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\longrightarrow U}$

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

${\displaystyle {}\int _{\gamma }F:=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\,}$

das Wegintegral zum Vektorfeld ${\displaystyle {}F}$ längs des Weges ${\displaystyle {}\gamma }$.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ ein reelles Intervall, ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ eine offene Menge und

${\displaystyle f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),}$

ein Vektorfeld auf ${\displaystyle {}U}$. Dann nennt man

${\displaystyle {}v'=f(t,v)\,}$

die gewöhnliche Differentialgleichung (oder gewöhnliches Differentialgleichungssystem) zum Vektorfeld ${\displaystyle {}f}$.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ ein reelles Intervall, ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ eine offene Menge und

${\displaystyle f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),}$

ein Vektorfeld auf ${\displaystyle {}U}$. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${\displaystyle {}v'=f(t,v)\,}$

heißt eine Abbildung

${\displaystyle v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),}$

auf einem offenen (Teil)Intervall ${\displaystyle {}J\subseteq I}$ eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Es ist ${\displaystyle {}v(t)\in U}$ für alle ${\displaystyle {}t\in J}$.
2. Die Abbildung ${\displaystyle {}v}$ ist differenzierbar.
3. Es ist ${\displaystyle {}v'(t)=f(t,v(t))}$ für alle ${\displaystyle {}t\in J}$.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ ein reelles Intervall, ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ eine offene Menge und

${\displaystyle f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),}$

ein Vektorfeld auf ${\displaystyle {}U}$. Es sei ${\displaystyle {}(t_{0},w)\in I\times U}$ gegeben. Dann nennt man

${\displaystyle v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w}$

das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung ${\displaystyle {}v'=f(t,v)}$ mit der Anfangsbedingung ${\displaystyle {}v(t_{0})=w}$.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ ein reelles Intervall, ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ eine offene Menge und

${\displaystyle f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),}$

ein Vektorfeld auf ${\displaystyle {}U}$. Es sei ${\displaystyle {}(t_{0},w)\in I\times U}$ vorgegeben. Dann nennt man eine Abbildung

${\displaystyle v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),}$

auf einem Intervall ${\displaystyle {}J\subseteq I}$ mit ${\displaystyle {}t_{0}\in J}$ eine Lösung des Anfangswertproblems

${\displaystyle v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w,}$

wenn ${\displaystyle {}v}$ eine Lösung der Differentialgleichung ${\displaystyle {}v'=f(t,v)}$ ist und wenn zusätzlich

${\displaystyle {}v(t_{0})=w\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$, ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ ein Intervall und es sei

${\displaystyle g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v)}$

eine Funktion. Dann heißt das Vektorfeld

${\displaystyle F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(t,v)\cdot v,}$

ein Zentralfeld.

Es sei ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ ein offenes Intervall, ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ offen und

${\displaystyle h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck

${\displaystyle {}y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,}$

eine Differentialgleichung der Ordnung ${\displaystyle {}n}$.

Es sei ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

${\displaystyle {}v'=Mv\,,}$

wobei

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,}$

eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

${\displaystyle a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),}$

sind, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.

Es sei ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ ein offenes reelles Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

${\displaystyle {}v'=Mv+z\,,}$

wobei

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,}$

eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

${\displaystyle a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),}$

sind und wobei

${\displaystyle z\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto z(t)={\begin{pmatrix}z_{1}(t)\\\vdots \\z_{n}(t)\end{pmatrix}},}$

eine Abbildung ist, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem. Die Abbildung ${\displaystyle {}z}$ heißt dabei Störabbildung.

Eine Differentialgleichung der Form

${\displaystyle {}v'=Mv\,,}$

wobei

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,}$

eine Matrix mit Einträgen ${\displaystyle {}a_{ij}\in \mathbb {C} }$ ist, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Es sei ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ ein offenes Intervall. Eine Differentialgleichung der Form

${\displaystyle {}v'=Mv+z\,,}$

wobei ${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}}$ eine Matrix mit Einträgen ${\displaystyle {}a_{ij}\in \mathbb {C} }$ ist und

${\displaystyle z\colon I\longrightarrow \mathbb {C} ^{n}}$

eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Es sei

${\displaystyle {}v'=Mv\,}$

mit

${\displaystyle {}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\,}$

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dann nennt man das charakteristische Polynom

${\displaystyle {}\chi _{M}=\det {\left(tE_{n}-M\right)}\,}$

auch das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.

Es sei

${\displaystyle {}v'=Mv\,}$

mit

${\displaystyle {}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\,}$

ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.

Seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ endlichdimensionale normierte Vektorräume, ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ eine offene Teilmenge, und ${\displaystyle {}f\colon G\rightarrow W}$ eine Abbildung. Weiter sei ${\displaystyle {}P\in G}$ ein Punkt und ${\displaystyle {}v\in V}$ ein fixierter Vektor. Dann heißt ${\displaystyle {}f}$ differenzierbar in ${\displaystyle {}P}$ in Richtung ${\displaystyle {}v}$, falls der Grenzwert

${\displaystyle \operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}}$

die Ableitung von ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}P}$ in Richtung ${\displaystyle {}v}$

${\displaystyle {\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}}$

Seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ endlichdimensionale ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorräume sei ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ eine offene Teilmenge, sei ${\displaystyle {}f\colon G\rightarrow W}$ eine Abbildung und ${\displaystyle {}v\in V}$ ein fixierter Vektor. Dann heißt ${\displaystyle {}f}$ differenzierbar in Richtung ${\displaystyle {}v}$, falls ${\displaystyle {}f}$ in jedem Punkt ${\displaystyle {}P\in G}$ in Richtung ${\displaystyle {}v}$ differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Abbildung

${\displaystyle D_{v}f\colon G\longrightarrow W,\,P\longmapsto {\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)},}$

die Richtungsableitung von ${\displaystyle {}f}$ in Richtung ${\displaystyle {}v}$.

Sei ${\displaystyle {}G\subseteq {KRC/{\mathbb {K} }|}^{n}}$ offen und sei eine Abbildung ${\displaystyle {}f\colon G\rightarrow {KRC/{\mathbb {K} }|}^{m}}$ durch

${\displaystyle {}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))\,}$

gegeben. Es sei ${\displaystyle {}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in G}$ ein Punkt. Für fixierte Indizes ${\displaystyle {}i}$ und ${\displaystyle {}j}$ betrachten wir die Abbildung

${\displaystyle I\longrightarrow {KRC/{\mathbb {K} }|},\,x_{i}\longmapsto f_{j}(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),}$

${\displaystyle {}I}$

${\displaystyle {}a_{i}\in I}$ derart sei, dass ${\displaystyle {}\{(a_{1},\ldots ,a_{i-1})\}\times I\times \{(a_{i+1},\ldots ,a_{n})\}\subseteq G}$ gilt) als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen ${\displaystyle {}a_{k}}$, ${\displaystyle {}k\neq i}$, fixiert seien. Ist diese Funktion in ${\displaystyle {}a_{i}}$ differenzierbar, so heißt ${\displaystyle {}f_{j}}$ partiell differenzierbar in ${\displaystyle {}P}$ bezüglich der Koordinate ${\displaystyle {}x_{i}}$. Man bezeichnet diese Ableitung (welche ein Element in ${\displaystyle {}{KRC/{\mathbb {K} }|}}$ ist) mit