Wenn ${\displaystyle {}f\in K}$ gehört, so ist die Multiplikationsabbildung ${\displaystyle {}\mu _{f}}$ die Streckung mit ${\displaystyle {}f}$. Dann ist ${\displaystyle {}f}$ der einzige Eigenwert von ${\displaystyle {}\mu _{f}}$ und ganz ${\displaystyle {}L}$ ist der Eigenraum zu diesem Eigenwert. Wenn hingegen ${\displaystyle {}f\notin K}$ gilt, so gibt es keinen Eigenwert. Die Eigenwertbedingung

${\displaystyle {}\mu _{f}(z)=fz=\lambda z\,}$

mit einem ${\displaystyle {}z\in L}$, ${\displaystyle {}z\neq 0}$, und einem ${\displaystyle {}\lambda \in K}$ führt wegen der Invertierbarkeit von ${\displaystyle {}z}$ direkt zum Widerspruch

${\displaystyle {}f=\lambda \in K\,.}$