${\displaystyle t\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

${\displaystyle a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b}$

von ${\displaystyle {}I}$ gibt derart, dass ${\displaystyle {}t}$ auf jedem offenen Teilintervall ${\displaystyle {}]a_{i-1},a_{i}[}$ konstant ist.

${\displaystyle {}T=[a,\infty ]}$

${\displaystyle T=[-\infty ,a]}$

${\displaystyle f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine Funktion. Dann heißt ${\displaystyle {}b\in \mathbb {R} }$ Grenzwert von ${\displaystyle {}f}$ für ${\displaystyle {}x\rightarrow +\infty }$ (bzw. ${\displaystyle x\rightarrow -\infty }$), wenn es für jedes ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ ein ${\displaystyle {}x_{0}\geq a}$ (bzw. ${\displaystyle x_{0}\leq a}$) gibt mit ${\displaystyle {}\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon }$ für alle ${\displaystyle {}x\geq x_{0}}$ (bzw. ${\displaystyle x\leq x_{0}}$).

${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {}x>-1}$

${\displaystyle x\longmapsto \operatorname {Fak} \,(x):=\int _{0}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt}$

die Fakultätsfunktion.

${\displaystyle y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),}$

auf einem Intervall ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ eine Lösung des Anfangswertproblems

${\displaystyle y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},}$

wenn ${\displaystyle {}y}$ eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$

gilt.

${\displaystyle y'=g(t)\cdot h(y)}$

mit Funktionen (dabei sind ${\displaystyle {}I}$ und ${\displaystyle {}J}$ reelle Intervalle)

${\displaystyle g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),}$

und

${\displaystyle h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),}$

heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.