Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe ${\displaystyle {}G}$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ein Ideal, das unter der Gruppenoperation invariant ist (es gelte also ${\displaystyle {}f\sigma \in {\mathfrak {a}}}$ für ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}}$ und jedes ${\displaystyle {}\sigma \in G}$). Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es gibt eine natürliche Operation von ${\displaystyle {}G}$ auf dem Restklassenring ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$.
2. Es gibt einen Ringhomomorphismus

   ${\displaystyle \psi \colon R^{G}/{\left({\mathfrak {a}}\cap R^{G}\right)}\longrightarrow {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}^{G}.}$

3. Die Abbildung ${\displaystyle {}\psi }$ aus Teil (2) ist injektiv.
4. Wenn ${\displaystyle {}G}$ endlich ist und ${\displaystyle {}R}$ einen Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}0}$ enthält, so ist ${\displaystyle {}\psi }$ surjektiv.