Nach Fakt  (2) und nach Fakt ist eine Gruppenoperation von ${\displaystyle {}(\mathbb {Z} ,0,+)}$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$ dasselbe wie eine bijektive Abbildung

${\displaystyle F\colon M\longrightarrow M,}$

wobei die ${\displaystyle {}1}$ wie ${\displaystyle {}F}$ wirkt. Bei gegebenem ${\displaystyle {}F}$ ist also die Gruppenwirkung für ${\displaystyle {}x\in M}$ durch

${\displaystyle n\cdot x=F^{n}(x)}$

definiert, wobei ${\displaystyle {}F^{n}}$ bei ${\displaystyle {}n\geq 0}$ die ${\displaystyle {}n}$-fache Hintereinanderschaltung von ${\displaystyle {}F}$ und bei ${\displaystyle {}n<0}$ die ${\displaystyle {}-n}$-fache Hintereinanderschaltung der Umkehrabbildung ${\displaystyle {}F^{-1}}$ bedeutet.