Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}M$ eine Menge. Es sei ${}\operatorname {Perm} \,(M)$ die Gruppe der Permutationen auf ${}M$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Wenn ${}G$ auf ${}M$ operiert, so ist die Abbildung
$G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto (x\mapsto gx),$

ein Gruppenhomomorphismus.

Wenn umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus
$\varphi \colon G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),$

vorliegt, so wird durch

$G\times M\longrightarrow M,\,(g,x)\longmapsto (\varphi (g))(x),$

eine Gruppenoperation von ${}G$ auf ${}M$ definiert.

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