Geordnete Dreiecke/Kongruenzen/Invariantenring/Fakt

Invariantenring der geordneten Dreiecke

Die orthogonale Gruppe ${}\operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ (der Drehungen und der Drehspiegelungen) operiere linear und simultan auf dem

{}\mathbb {R} ^{4}=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\,.

Dann ist der Invariantenring der zugehörigen Operation auf dem Polynomring ${}\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]$ gleich

$\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]^{\operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}=\mathbb {R} [U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2}]\,.$

Die drei Erzeuger sind dabei algebraisch unabhängig.

Jede polynomiale Invariante eines (nummerierten) Dreieckes lässt sich polynomial in den drei Seitenquadraten ausdrücken.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

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