Wie in Beispiel erwähnt, gibt es eine kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 1\longrightarrow \operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \{1,-1\}\longrightarrow 1.}$

Wir können daher aufgrund von Fakt den Invariantenring

${\displaystyle \mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]^{\operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}}$

aus dem Invariantenring zu

${\displaystyle \mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]^{\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}}$

ausrechnen, der in Fakt zu

${\displaystyle B=\mathbb {R} [U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2},U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}]}$

bestimmt wurde. Das nichttriviale Element der Restklassengruppe ${\displaystyle {}\{1,-1\}}$ wirkt auf ${\displaystyle {}B}$ durch einen beliebigen Repräsentanten, beispielsweise durch die Spiegelung ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$. Der zugehörige Ringautomorphismus lässt ${\displaystyle {}U_{1},U_{2}}$ unverändert und schickt ${\displaystyle {}V_{1},V_{2}}$ auf ihr Negatives. Unter dieser Abbildung sind die drei vorderen Erzeuger invariant und der hintere Erzeuger wird auf sein Negatives abgebildet. Da das Quadrat des vierten Erzeugers zu ${\displaystyle {}A=\mathbb {R} [U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2}]}$ gehört, liegt eine Operation auf einem Ring der Form ${\displaystyle {}A[X]/(X^{2}-a)}$ durch ${\displaystyle {}X\leftrightarrow -X}$ vor. In einem solchen Fall ist ${\displaystyle {}A}$ der Invariantenring.