Wir betrachten die injektive Abbildung

${\displaystyle R/{\mathfrak {q}}_{0}\longrightarrow S/{\mathfrak {p}}_{0},}$

die nach wie vor ganz ist. Wir können also annehmen, dass eine ganze Erweiterung ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ von Integritätsbereichen vorliegt und müssen ein Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}}$ finden, das auf ein vorgegebenes Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}}$ runterschneidet. Wir lokalisieren ${\displaystyle {}R}$ an ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ und ${\displaystyle {}S}$ an ${\displaystyle {}R\setminus {\mathfrak {q}}\subseteq S}$, wobei die induzierte Abbildung

${\displaystyle R_{\mathfrak {q}}\longrightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {q}}}}$

nach wie vor ganz ist. Wir können also annehmen, dass ${\displaystyle {}R}$ ein lokaler Integritätsbereich ist und ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ eine ganze Erweiterung. Wir suchen ein Primideal aus ${\displaystyle {}S}$, das auf das maximale Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ herunterschneidet.  Nehmen wir an, dass die Faser über ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ leer ist. Dann ist nach Fakt das Erweiterungsideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}S}$ gleich dem Einheitsideal. Dann gibt es Elemente ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}}$ und ${\displaystyle {}s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$ mit ${\displaystyle {}s_{1}f_{1}+\cdots +s_{n}f_{n}=1}$. Diese Gleichung gilt auch im Unterring ${\displaystyle {}T=R[s_{1},\ldots ,s_{n}]\subseteq S}$. Die Erweiterung ${\displaystyle {}R\subseteq T}$ ist endlich erzeugt und ganz, also nach Fakt sogar endlich. Es ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}T=T}$ und damit ${\displaystyle {}T/{\mathfrak {m}}T=0}$. Aus dem Lemma von Nakayama folgt daraus ${\displaystyle {}T=0}$, ein Widerspruch.