{{ Mathematischer Text/Fakt |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei ${\displaystyle {}M\subseteq G}$ eine abgeschlossene Fläche in einer offenen Menge ${\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$, die mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Flächenform ${\displaystyle {}\omega }$ versehen sei. Es sei ${\displaystyle {}W\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ offen und es sei

${\displaystyle \varphi \colon W\longrightarrow U}$

ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge ${\displaystyle {}U\subseteq M}$. Die Koordinaten von ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ seien ${\displaystyle {}u}$ und ${\displaystyle {}v}$ und wir setzen

${\displaystyle E=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}}\right\rangle ,\,F=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial u}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial u}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}}\right\rangle {\text{ und }}G=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}}\right\rangle .}$

|Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gilt auf ${\displaystyle {}W}$ {{ Ma:Vergleichskette/aligndirekt |\varphi^*( \omega {{|}}_U) || \sqrt{EG-F^2} du \wedge dv || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Fläche |Faktname= |Abfrage=Inhaltsberechnung für eingebettete Flächen |Autor= |Bearbeitungsstand= }}