Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine ${\displaystyle {}n}$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle {}\omega }$ eine messbare ${\displaystyle {}n}$-Differentialform auf ${\displaystyle {}M}$. Dann heißt ${\displaystyle {}\omega }$ eine positive Volumenform, wenn für jede Karte (eines gegebenen Atlases)

${\displaystyle \alpha \colon U\longrightarrow V}$

(mit ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ und Koordinatenfunktionen ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$) in der lokalen Darstellung der Differentialform

${\displaystyle {}\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,}$

die Funktion ${\displaystyle {}f}$ überall positiv ist.