Wir wollen den Invariantenring zur binären Tetraedergruppe ${\displaystyle {}\operatorname {BT} \subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {C} \right)}}$ berechnen, die auf dem Polynomring ${\displaystyle {}\mathbb {C} [U,V]}$ operiert. Wir verwenden den Normalteiler ${\displaystyle {}{\operatorname {BD} _{2}}\subseteq \operatorname {BT} }$. Der Invariantenring ${\displaystyle {}\mathbb {C} [U,V]^{\operatorname {BD} _{2}}}$ wird nach Beispiel von

${\displaystyle L=U^{4}+V^{4},\,M=U^{2}V^{2}{\text{ und }}N=UV{\left(U^{4}-V^{4}\right)}}$

erzeugt mit der Relation

${\displaystyle N^{2}-ML^{2}+4M^{3}=0.}$

Auf diesem Invariantenring wirkt die Restklassengruppe ${\displaystyle {}\operatorname {BT} /{\operatorname {BD} _{2}}\cong \mathbb {Z} /(3)}$, wobei das nichttriviale Element (die ${\displaystyle {}1}$) durch

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}}$

repräsentiert wird. Diese Matrix schickt ${\displaystyle {}U}$ auf ${\displaystyle {}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(\zeta ^{7}U+\zeta ^{7}V\right)}}$ und ${\displaystyle {}V}$ auf ${\displaystyle {}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(\zeta ^{5}U+\zeta V\right)}}$. Daher ist

${\displaystyle U^{4}\longmapsto -{\frac {1}{4}}{\left(U^{4}+4U^{3}V+6U^{2}V^{2}+4UV^{3}+V^{4}\right)}}$

und

${\displaystyle V^{4}\longmapsto -{\frac {1}{4}}{\left(-U+V\right)}^{4}=-{\frac {1}{4}}{\left(U^{4}-4U^{3}V+6U^{2}V^{2}-4UV^{3}+V^{4}\right)}}$

und damit

${\displaystyle L=U^{4}+V^{4}\longmapsto -{\frac {1}{2}}{\left(U^{4}+6U^{2}V^{2}+V^{4}\right)}=-{\frac {1}{2}}L-3M.}$

Ferner wird ${\displaystyle {}M=U^{2}V^{2}}$ auf

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {1}{4}}{\left(\zeta ^{7}U+\zeta ^{7}V\right)}^{2}{\left(\zeta ^{5}U+\zeta V\right)}^{2}&={\frac {1}{4}}{\left(U+V\right)}^{2}{\left(-U+V\right)}^{2}\\&={\frac {1}{4}}{\left(U^{4}-2U^{2}V^{2}+V^{4}\right)}\\&={\frac {1}{4}}{\left(L-2M\right)}\\&={\frac {1}{4}}L-{\frac {1}{2}}M\end{aligned}}}$

geschickt. Das Element ${\displaystyle {}N=UV{\left(U^{4}-V^{4}\right)}}$ wird auf

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(\zeta ^{7}U+\zeta ^{7}V\right)}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(\zeta ^{5}U+\zeta V\right)}{\left(-2U^{3}V-2UV^{3}\right)}&=(U+V)(-U+V){\left(-U^{3}V-UV^{3}\right)}\\&=(U+V)(-U+V)(-1)UV{\left(U^{2}+V^{2}\right)}\\&=UV(U-V)(U+V)(U+iV)(U-iV)\\&=UV{\left(U^{4}-V^{4}\right)}\\&=N,\end{aligned}}}$

also auf sich selbst geschickt. Neben

${\displaystyle {}N=UV(U^{4}-V^{4})\,}$

sind, wie man direkt nachrechnet, auch

${\displaystyle {}P:=L^{2}+12M^{2}=U^{8}+14U^{4}V^{4}+V^{8}\,}$

und

${\displaystyle {}Q:=L^{3}-36LM^{2}=U^{12}-33U^{8}V^{4}-33U^{4}V^{8}+V^{12}\,}$

invariant. Wegen

${\displaystyle {}N^{4}={\left(ML^{2}-4M^{3}\right)}^{2}=M^{2}L^{4}-8M^{4}L^{2}+16M^{6}\,}$

einerseits und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(L^{3}-36LM^{2}\right)}^{2}-{\left(L^{2}+12M^{2}\right)}^{3}&=-72L^{4}M^{2}+1296L^{2}M^{4}-36L^{4}M^{2}-432L^{2}M^{4}-1728M^{6}\\&=-108L^{4}M^{2}+864L^{2}M^{4}-1728M^{6}\\&=-108{\left(M^{2}L^{4}-8M^{4}L^{2}+16M^{6}\right)}\end{aligned}}}$

andererseits haben wir zwischen diesen Invarianten die Relation

${\displaystyle {}-108N^{4}={\left(L^{3}-36LM^{2}\right)}^{2}-{\left(L^{2}+12M^{2}\right)}^{3}\,.}$

Mit ${\displaystyle {}P=L^{2}+12M^{2}}$ und ${\displaystyle {}Q=L^{3}-36LM^{2}}$ liegt also die Relation

${\displaystyle {}Q^{2}-P^{3}+108N^{4}=0\,}$

vor.

Wir müssen noch zeigen, dass damit alle Invarianten erfasst sind, dass also der Invariantenring von ${\displaystyle {}N,P,Q}$ erzeugt wird. Dazu lassen wir uns davon leiten, dass eine Operation der ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)}$ vorliegt, die von einer ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)}$-Graduierung herrühren muss. Nach Fakt ist der Invariantenring gleich dem Ring der neutralen Stufe, der häufig einfacher zu bestimmen ist. Wie oben berechnet, wirkt der Erzeuger der Gruppe durch ${\displaystyle {}L\mapsto -{\frac {1}{2}}L-3M}$ und ${\displaystyle {}N\mapsto {\frac {1}{4}}L-{\frac {1}{2}}M}$. Durch Diagonalisierung dieser Matrix erhält man, dass

${\displaystyle {}A={\sqrt {3}}{\mathrm {i} }L-6M\,}$

und

${\displaystyle {}B={\sqrt {3}}{\mathrm {i} }L+6M\,}$

Eigenvektoren zu den Eigenwerten ${\displaystyle {}{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}}$ bzw. ${\displaystyle {}{\frac {-1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}}$ sind, die dritte Einheitswurzeln sind. Wegen

${\displaystyle {}L={\frac {1}{2{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}}(A+B)\,}$

und

${\displaystyle {}M={\frac {1}{12}}(B-A)\,}$

kann man die definierende Gleichung (des Invariantenringes zu ${\displaystyle BD_{2}}$) in den Variablen ${\displaystyle {}N,A,B}$ als

${\displaystyle {}{\begin{aligned}N^{2}-ML^{2}+4M^{3}&=N^{2}-{\frac {1}{12}}{\left({\frac {1}{2{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}}\right)}^{2}(B-A)(A+B)^{2}+4{\left({\frac {1}{12}}\right)}^{3}(B-A)^{3}\\&=N^{2}+{\frac {1}{144}}{\left(B^{3}+B^{2}A-BA^{2}-A^{3}\right)}+{\frac {1}{432}}{\left(B^{3}-3B^{2}A+3BA^{2}-A^{3}\right)}\\&=N^{2}+{\frac {1}{108}}{\left(B^{3}-A^{3}\right)}.\end{aligned}}}$

Wir können also davon ausgehen, dass der Ring

${\displaystyle K[N,A,B]/{\left(N^{2}+{\frac {1}{108}}B^{3}-{\frac {1}{108}}A^{3}\right)}}$

vorliegt, der ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)}$-graduiert ist, wobei ${\displaystyle {}N}$ den Grad ${\displaystyle {}0}$, ${\displaystyle {}B}$ den Grad ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}A}$ den Grad ${\displaystyle {}2}$ bekommt. Die definierende Gleichung besitzt den Grad ${\displaystyle {}0}$. Der Ring der nullten Stufe wird offenbar von ${\displaystyle {}N,A^{3},B^{3},AB}$ erzeugt. Für die oben gefundenen invarianten Polynome gilt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}P&=L^{2}+12M^{2}\\&=-{\frac {1}{12}}{\left(A+B\right)}^{2}+{\frac {1}{12}}(B-A)^{2}\\&=-{\frac {1}{3}}AB\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}Q&=L^{3}-36LM^{2}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}}(A+B){\left(-{\frac {1}{12}}(A+B)^{2}-{\frac {1}{4}}(B-A)^{2}\right)}\\&={\frac {1}{6{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}}(A+B){\left(-A^{2}+AB-B^{2}\right)}\\&={\frac {1}{6{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}}{\left(A^{3}+B^{3}\right)}.\end{aligned}}}$

Mit Hilfe der Relation kann man ${\displaystyle {}A^{3}}$ (und ${\displaystyle {}B^{3}}$) als Linearkombination von ${\displaystyle {}N,P,Q}$ ausdrücken. Daher sind dies Algebraerzeuger des Invariantenrings und dieser ist zu

${\displaystyle \mathbb {C} [X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{4}\right)}}$

isomorph. Man spricht von der ${\displaystyle {}E_{6}}$-Singularität.