Es sei ${\displaystyle {}m\in \mathbb {N} _{+}}$ und es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}\neq 2}$, der eine vierte primitive Einheitswurzel ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }}$ und eine ${\displaystyle {}2m}$-te primitive Einheitswurzel ${\displaystyle {}\zeta }$ enthalte. Wir betrachten die von den Matrizen

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{-1}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}}$

erzeugte Untergruppe ${\displaystyle {}G}$ (die man auch als ${\displaystyle {}BD_{m}}$ bezeichnet) der ${\displaystyle {}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(K\right)}}$ mit ihrer natürlichen Operation auf ${\displaystyle {}R=K[U,V]}$. Es sei ${\displaystyle {}H\subseteq G}$ die von ${\displaystyle {}A}$ erzeugte zyklische Untergruppe der Ordnung ${\displaystyle {}2m}$. Da ${\displaystyle {}G}$ die Ordnung ${\displaystyle {}4m}$ besitzt, ist ${\displaystyle {}H}$ ein Normalteiler in ${\displaystyle {}G}$. Daher können wir mit Hilfe von Fakt  (3) und Beispiel den Invariantenring ${\displaystyle {}K[U,V]^{G}}$ ausrechnen. Es ist ja

${\displaystyle {}S:=K[U,V]^{H}=K[U^{2m},V^{2m},UV]=K[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{2m}\right)}\,.}$

Die Operation des nichttrivialen Elementes aus ${\displaystyle {}G/H\cong \mathbb {Z} /(2)}$ auf diesem Invariantenring wird durch die Operation von ${\displaystyle {}B}$ auf ${\displaystyle {}K[U,V]}$ repräsentiert. Sie ist also durch ${\displaystyle {}U\mapsto {\mathrm {i} }V}$ und ${\displaystyle {}V\mapsto {\mathrm {i} }U}$ gegeben und induziert

${\displaystyle X=U^{2m}\longmapsto {\mathrm {i} }^{2m}V^{2m}=\rho Y,}$

${\displaystyle Y=V^{2m}\longmapsto {\mathrm {i} }^{2m}U^{2m}=\rho X,}$

${\displaystyle Z=UV\longmapsto {\mathrm {i} }^{2}UV=-Z,}$

wobei ${\displaystyle {}\rho =\pm 1}$ ist, je nachdem, ob ${\displaystyle {}m}$ gerade oder ungerade ist.

Durch diese Operation ist ${\displaystyle {}S}$ ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)}$-graduiert. Bei ${\displaystyle {}m}$ gerade sind

${\displaystyle X+Y,Z^{2},Z(X-Y)}$

invariante Polynome (bei ${\displaystyle {}m}$ ungerade ${\displaystyle X-Y,Z^{2},Z(X+Y)}$) und ${\displaystyle {}Z}$ und ${\displaystyle {}X-Y}$ sind semiinvariante Polynome. Mittels ${\displaystyle {}X={\frac {1}{2}}(X+Y)+{\frac {1}{2}}(X-Y)}$ und ${\displaystyle {}Y={\frac {1}{2}}(X+Y)-{\frac {1}{2}}(X-Y)}$ lässt sich für jedes Monom ${\displaystyle {}X^{i}Y^{j}Z^{k}}$ die homogene Zerlegung bezüglich dieser Graduierung angeben (wegen ${\displaystyle (X-Y)^{2}=(X+Y)^{2}-4Z^{2m}}$ kann diese Invariante durch die anderen ausgedrückt werden). Deshalb bilden ${\displaystyle {}L=X+Y,\,M=Z^{2},\,N=Z(X-Y)}$ ein Algebraerzeugendensystem des Invariantenringes

${\displaystyle {}R^{G}=S^{\mathbb {Z} /(2)}\,.}$

Es besteht die Relation

${\displaystyle {}{\begin{aligned}N^{2}&=Z^{2}(X-Y)^{2}\\&=M{\left(X^{2}+Y^{2}-2XY\right)}\\&=M{\left(L^{2}-4XY\right)}\\&=ML^{2}-4MM^{m}\\&=ML^{2}-4M^{m+1}.\end{aligned}}}$

Da das Polynom

${\displaystyle N^{2}-ML^{2}+4M^{m+1}}$

irreduzibel ist, und der Invariantenring zweidimensional sein muss, ist

${\displaystyle {}R^{G}\cong K[L,M,N]/{\left(N^{2}-ML^{2}+4M^{m+1}\right)}\,.}$

Unter schwachen Bedingungen an den Körper ${\displaystyle {}K}$ ist dieser Ring isomorph zu

${\displaystyle K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+YZ^{2}+Y^{m+1}\right)}.}$