Es sei ${\displaystyle {}c\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {}0\leq c<1}$, ein Kontraktionsfaktor, d.h. es gelte

${\displaystyle d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}}$

für alle ${\displaystyle {}x,y\in M}$. Wenn ${\displaystyle {}x,y\in M}$ Fixpunkte sind, so folgt aus

${\displaystyle {}d(x,y)=d(f(x),f(y))\leq c\cdot d(x,y)\,}$

sofort ${\displaystyle {}d(x,y)=0}$ und somit ${\displaystyle {}x=y}$, es kann also maximal einen Fixpunkt geben.
Sei nun ${\displaystyle {}x\in M}$ ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die durch

${\displaystyle x_{0}=x{\text{ und }}x_{n}:=f^{n}(x):=f(x_{n-1})}$

rekursiv definierte Folge in ${\displaystyle {}M}$. Wir setzen ${\displaystyle {}a=d{\left(f(x),x\right)}}$. Dann gilt für jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ die Beziehung

${\displaystyle {}d{\left(f^{n+1}(x),f^{n}(x)\right)}\leq c\cdot d{\left(f^{n}(x),f^{n-1}(x)\right)}\leq c^{n}\cdot d{\left(f(x),x\right)}=c^{n}a\,.}$

Daher gilt aufgrund der Dreiecksungleichung und der geometrischen Reihe für ${\displaystyle {}n\geq m}$ die Beziehung

${\displaystyle {}{\begin{aligned}d{\left(f^{n}(x),f^{m}(x)\right)}&\leq d{\left(f^{n}(x),f^{n-1}(x)\right)}+d{\left(f^{n-1}(x),f^{n-2}(x)\right)}+\cdots +d{\left(f^{m+1}(x),f^{m}(x)\right)}\\&\leq a\left(c^{n-1}+c^{n-2}+\cdots +c^{m+1}+c^{m}\right)\\&=ac^{m}\left(c^{n-m-1}+c^{n-m-2}+\cdots +c^{2}+c^{1}+1\right)\\&\leq c^{m}a{\frac {1}{1-c}}.\,\end{aligned}}}$

Zu einem gegebenen ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ wählt man ${\displaystyle {}n_{0}}$ mit ${\displaystyle {}c^{n_{0}}a{\frac {1}{1-c}}\leq \epsilon }$. Dies zeigt, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, die aufgrund der Vollständigkeit gegen ein ${\displaystyle {}y\in M}$ konvergiert.

Wir zeigen, dass dieses ${\displaystyle {}y}$ ein Fixpunkt ist. Die Bildfolge ${\displaystyle {}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiert gegen ${\displaystyle {}f(y)}$, da eine kontrahierende Abbildung stetig ist. Andererseits stimmt diese Bildfolge mit der Ausgangsfolge bis auf die Indizierung überein, so dass der Grenzwert ${\displaystyle {}y}$ sein muss.