Eine Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}M}$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {}\epsilon >0}$, gibt es ein ${\displaystyle {}n_{0}\in \mathbb {N} }$ derart, dass für alle ${\displaystyle {}n,m\geq n_{0}}$ die Beziehung

${\displaystyle {}d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\leq \epsilon \,}$

gilt.