Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}(M_{1},{\mathcal {P}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n})$ Mengen mit darauf erklärten Präringen. Dann besteht der Produkt-Präring aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern.
Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}U\subseteq M$ eine offene Teilmenge mit einer Karte
$\alpha \colon U\longrightarrow V$

und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Es seien

$x_{j}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
die zugehörigen Koordinatenfunktionen, ${}1\leq j\leq n$ . Dann lässt sich jede auf ${}U$ definierte ${}k$ -Differentialform
${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ eindeutig schreiben als

${}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{J}dx_{J}\,$

mit eindeutig bestimmten Funktionen

$f_{J}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$
Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.

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