${\displaystyle {}{\mathbb {K} }^{n}}$

${\displaystyle \varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m}}$

eine lineare Abbildung. Dann ist ${\displaystyle {}\varphi }$

${\displaystyle {}v'=Mv\,}$

mit

${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })}$

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix ${\displaystyle {}M}$ sei diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{n}}$. Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich

${\displaystyle {\left\{c_{1}e^{\lambda _{1}t}\cdot u_{1}+\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\cdot u_{n}\mid c_{i}\in {\mathbb {K} }\right\}},}$

${\displaystyle {}\lambda _{i}}$

${\displaystyle {}u_{i}}$

${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {}f(P+v)=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+R_{k}(v)\,,}$

wobei

${\displaystyle \operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {\Vert {R_{k}(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}=0}$