Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Abstandsfunktion auf einem reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit einem Skalarprodukt ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$.
2. Ein Berührpunkt zu einer Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ eines metrischen Raumes ${\displaystyle {}M}$.
3. Die Vollständigkeit eines metrischen Raumes ${\displaystyle {}M}$.
4. Ein inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$).
5. Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
6. Die Richtungsableitung einer Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

   in einem Punkt ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$ in Richtung eines Vektors ${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} ^{n}}$.

7. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

   ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$

   in einem Punkt ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$.

8. Die Integrabilitätsbedingung eines differenzierbaren Vektorfeldes

   ${\displaystyle G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},}$

   wobei ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Teilmenge ist.