${\displaystyle {}\varphi }$

${\displaystyle {}v,w\in V}$

${\displaystyle {}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.}$

${\displaystyle {}M}$

${\displaystyle {}x,y\in M}$

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\longrightarrow X}$

mit ${\displaystyle {}\gamma (a)=x}$ und ${\displaystyle {}\gamma (b)=y}$ gibt.

${\displaystyle {}f}$

${\displaystyle {}t\in I}$

${\displaystyle \operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}}$

existiert.

${\displaystyle f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v)\longmapsto f(t,v),}$

wobei ${\displaystyle {}I}$ ein reelles Intervall ist.

${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$

${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck

${\displaystyle {}y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,}$

eine Differentialgleichung der Ordnung ${\displaystyle {}n}$.

${\displaystyle {}f}$

${\displaystyle {}v}$

${\displaystyle {}f}$

${\displaystyle {}P\in G}$

${\displaystyle {}v}$

${\displaystyle D_{v}f\colon G\longrightarrow W,\,P\longmapsto {\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)},}$

die Richtungsableitung von ${\displaystyle {}f}$ in Richtung ${\displaystyle {}v}$.

${\displaystyle V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}$

heißt Bilinearform, wenn für alle ${\displaystyle {}v\in V}$ die induzierten Abbildungen

${\displaystyle V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}$

und für alle ${\displaystyle {}w\in V}$ die induzierten Abbildungen

${\displaystyle V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}$

${\displaystyle {}K}$-linear sind.