${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}$

mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist

   ${\displaystyle {}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,}$

   für alle ${\displaystyle {}\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {}x_{1},x_{2},y\in V}$ und ebenso in der zweiten Komponente.

2. Es ist

   ${\displaystyle {}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,}$

   für alle ${\displaystyle {}v,w\in V}$.

3. Es ist ${\displaystyle {}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0}$ für alle ${\displaystyle {}v\in V}$ und ${\displaystyle {}\left\langle v,v\right\rangle =0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}v=0}$ ist.

${\displaystyle {}T}$

${\displaystyle {}b}$

${\displaystyle d{\left(x,y\right)}\leq b{\text{ für alle }}x,y\in T}$

gibt.

${\displaystyle f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

die man als eine Summe der Form

${\displaystyle {}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x^{\nu }=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,}$

mit ${\displaystyle {}a_{\nu }\in {\mathbb {K} }}$ schreiben kann, wobei nur endlich viele ${\displaystyle {}a_{\nu }\neq 0}$ sind.

${\displaystyle {}f}$

${\displaystyle {}c<1}$

${\displaystyle d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}}$

für alle ${\displaystyle {}x,y\in L}$.

${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$

${\displaystyle v'=Mv+z,}$

wobei

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}}$

eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen

${\displaystyle a_{ij}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto a_{ij}(t),}$

sind und wobei

${\displaystyle z\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto z(t)={\begin{pmatrix}z_{1}(t)\\\vdots \\z_{n}(t)\end{pmatrix}},}$

eine Abbildung ist, heißt inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.

${\displaystyle {}y}$

${\displaystyle {}F_{y}={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=y\right\}}\,.}$

${\displaystyle {}f}$

${\displaystyle {}P}$

${\displaystyle {}w\in V}$

${\displaystyle {}{\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}=\left\langle w,v\right\rangle \,}$

für alle ${\displaystyle {}v\in V}$.

${\displaystyle {}f}$

${\displaystyle {}(t,v)\in I\times \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle (t,v)\in I'\times U'\subseteq I\times \mathbb {R} ^{n}}$

derart gibt, dass das auf ${\displaystyle {}I'\times U'}$ eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.