Affine-algebraische Mengen/Koordinatenring/Grundeigenschaften/Fakt

Sei ${}V={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge und sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,{\left(V\right)}$ der zugehörige Koordinatenring. Dann gelten folgende Aussagen.

${}R$ ist reduziert.

${}V=\emptyset$ genau dann, wenn ${}R$ der Nullring ist.

${}V$ ist genau dann irreduzibel, wenn ${}R$ ein Integritätsbereich ist.

${}V$ besteht genau dann aus einem einzigen Punkt, wenn ${}R=K$ ist.

Ist ${}K$ algebraisch abgeschlossen, und ${}V=V({\mathfrak {a}})$ , so ist ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})$ .

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen

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