Es sei ${\displaystyle {}I=\operatorname {Id} \,(V)}$ das Verschwindungsideal zu ${\displaystyle {}V}$.

(1). Dies folgt aus Fakt und Fakt.

(2). ${\displaystyle {}V=\emptyset }$ ist äquivalent zu ${\displaystyle {}1\in I}$, und das ist äquivalent zu ${\displaystyle {}R=0}$.

(3). Dies folgt aus Fakt und Fakt.

(4). Sei ${\displaystyle {}V=\{P\}}$, ${\displaystyle {}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$. Dann ist ${\displaystyle {}I=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$ und der Koordinatenring ist

${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})\cong K\,.}$

Umgekehrt, wenn der Koordinatenring ${\displaystyle {}K}$ ist, so muss der zugehörige Restklassenhomomorphismus ein Einsetzungshomomorphismus ${\displaystyle {}X_{i}\mapsto a_{i}}$ sein, und das Verschwindungsideal zu ${\displaystyle {}V}$ muss ein Punktideal sein, und es ist ${\displaystyle {}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V}$. Wenn es noch einen weiteren Punkt ${\displaystyle {}Q\in V}$, ${\displaystyle {}Q\neq P}$, gibt, so hat man einen Widerspruch, da nicht alle ${\displaystyle {}X_{i}-a_{i}}$ in ${\displaystyle {}Q}$ verschwinden.

(5). Bei ${\displaystyle {}K}$ algebraisch abgeschlossen ist ${\displaystyle {}\operatorname {Id} \,(V)=\operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})}$ nach dem Hilbertschen Nullstellensatz.