Die Ableitung als Steigung einer Funktion

Die entsprechenden Antworten auf Potenzfunktion werden benutzt, die Vorlagen von dort benutzen

Ableitung und Geradlinige Bewegung

1. A4N, B1K, C5N, D2L, E3N
2. A2K, B3N, C5N, D4M, E1N
3. A4K, B5L, C2J, D1J, E3J
4. A5L, B1L, C4K, D2L, E3J

Einheiten der Ableitung

Ableitung und Grenzwerten

1. hier klicken
2. hier klicken
3. hier klicken

Ableitung von Potenzfunktionen

1. 1. ${\displaystyle \ 35u^{4}}$
   2. ${\displaystyle 9y^{8}\quad }$
   3. ${\displaystyle 5x^{11}}$
      
2. 1. ${\displaystyle \ 3n\,g^{n-1}}$
   2. ${\displaystyle y^{4}\quad }$
   3. ${\displaystyle x^{5{,}5}}$
      
3. 1. ${\displaystyle \ 4d\,v^{4}}$
   2. ${\displaystyle {\sqrt {2}}y^{{\sqrt {2}}-1}\quad }$
   3. ${\displaystyle 5b^{w-1}}$
      
4. 1. ${\displaystyle \ 4\,n^{6}}$
   2. ${\displaystyle \pi \ y^{\pi -1}\quad }$
   3. ${\displaystyle 2g^{4}}$
      

Ableitung von Potenzfunktionen komplex

1. 1. ${\displaystyle -b\,d\,c^{-(d+1)}}$
   2. ${\displaystyle {\frac {3}{4}}t^{-{\frac {1}{4}}}\left(={\frac {3}{4}}\,{\sqrt[{4}]{t\ }}\right)\quad }$
   3. ${\displaystyle -25x^{-6}\left(=-{\frac {25}{x^{6}}}\right)}$
2. 1. ${\displaystyle \ -b\,t\,c^{-(t+1)}}$
   2. ${\displaystyle {\frac {v}{w}}t^{{\frac {v}{w}}-1}\left(={\frac {v}{w}}\,{\sqrt[{w}]{t^{v-1}\ }}\right)\quad }$
   3. ${\displaystyle -98a^{-8}\left(=-{\frac {98}{a^{8}}}\right)}$
3. 1. ${\displaystyle \ -5\,c^{-({\sqrt {5}}+1)}}$
   2. ${\displaystyle {\frac {5}{7}}t^{-{\frac {2}{7}}}\left(={\frac {5}{7\,{\sqrt[{7}]{t^{2}\ }}}}\right)\quad }$
   3. ${\displaystyle -33x^{-4}\left(=-{\frac {33}{x^{4}}}\right)}$
4. 1. ${\displaystyle c^{-({\sqrt {b^{-1}}}-1)}\left(={\frac {1}{c^{{\sqrt {\frac {1}{b}}}-1}}}\right)\quad }$
   2. ${\displaystyle {\frac {3}{k}}\ t^{\frac {3-k}{k}}\left(={\frac {3}{k\ {\sqrt[{k}]{t^{k-3}\ }}}}\right)\quad }$
   3. ${\displaystyle -7\ t\ x^{t-1}\left(=-{\frac {7\ t}{x^{1-t}}}\right)}$

Ableitung von Potenzfunktionen schwierig

1. 1. ${\displaystyle \ -{\frac {5}{4}}h^{-{\frac {9}{4}}}\left(=-{\frac {5}{4}}\,{\sqrt[{4}]{h^{9}\ }}\right)}$
   2. ${\displaystyle \ -7x^{-{\frac {10}{3}}}\left(=-{\frac {7}{\sqrt[{3}]{x^{10}\ }}}\right)\quad }$
   3. ${\displaystyle -15n^{-4}\left(=-{\frac {15}{n^{4}}}\right)}$
2. 1. ${\displaystyle \ -{\frac {5}{4}}h^{-{\frac {9}{4}}}\left(=-{\frac {5}{4}}\,{\sqrt[{4}]{h^{9}\ }}\right)}$
   2. ${\displaystyle \ -2{\frac {n}{b}}x^{-\left({\frac {n}{b}}+1\right)}\left(=-{\frac {2\,n}{b\ {\sqrt[{b}]{x^{{\frac {n}{b}}+1}\ }}}}\right)\quad }$
   3. ${\displaystyle {\frac {6}{5}}n^{-{\frac {2}{5}}}\left(={\frac {6}{5\ {\sqrt[{5}]{n^{2}}}}}\right)}$
3. 1. ${\displaystyle \ -{\frac {w}{d}}h^{\frac {w-d}{d}}}$
   2. ${\displaystyle \ -20x^{3}\quad }$
   3. ${\displaystyle -{\frac {24^{2}}{s}}n^{-{\frac {24+s}{s}}}\left(=-{\frac {576}{\sqrt[{s}]{s\ n^{24+s}}}}\right)}$
4. 1. ${\displaystyle \ -{\frac {6}{u}}h^{\frac {6-u}{u}}\left(={\frac {6}{u\ {\sqrt[{u}]{h^{6-u}}}}}\right)}$
   2. ${\displaystyle \ -{\frac {77}{3}}x^{-{\frac {14}{3}}}\left(=-{\frac {77}{3\ {\sqrt[{3}]{x^{14}}}}}\right)\quad }$
   3. ${\displaystyle -{\frac {5^{2}}{t}}n^{-{\frac {5+t}{t}}}\left(=-{\frac {25}{t\ {\sqrt[{t}]{n^{5+t}}}}}\right)}$

Ableitungen von weiteren Funktionen

1. 1. ${\displaystyle \ b'(v)=7\cos v-{\frac {1}{v}}-{\frac {9}{5}}\ v^{-4}}$${\displaystyle \qquad b(2{,}4)\approx 6{,}90\qquad b'(2{,}4)\approx -2{,}45}$
   2. ${\displaystyle \ v'(t)={-{\frac {15}{4}}}\ t^{-{\frac {7}{4}}}+\sin t+1+3\ t^{-4}\ }$${\displaystyle \qquad v(2{,}4)\approx 5{,}66\qquad v'(2{,}4)\approx -1{,}15}$
   3. ${\displaystyle \ t'(b)=5\ e^{b}+{7}\ b^{-{\frac {10}{3}}}+{\frac {1}{\cos ^{2}b}}\quad }$${\displaystyle \qquad t(2{,}4)\approx 53{,}8\qquad t'(2{,}4)\approx 57{,}3}$
2. 1. ${\displaystyle \ b'(v)=-7\sin v-{\frac {1}{v}}-{\frac {25}{3}}\ v^{-6}}$${\displaystyle \qquad b(0{,}7)\approx 22{,}63\qquad b'(0{,}7)\approx -76{,}77}$
   2. ${\displaystyle \ v'(t)=-{8}\ t^{-{\frac {7}{3}}}-\cos t+9t^{8}+t^{-2}\ }$${\displaystyle \qquad v(0{,}7)\approx 7{,}62\qquad v'(0{,}7)\approx -16{,}59}$
   3. ${\displaystyle \ t'(b)=5\ e^{b}-3\ b+{\frac {1}{\cos ^{2}b}}\quad }$${\displaystyle \qquad t(0{,}7)\approx 8{,}16\qquad t'(0{,}7)\approx 7{,}66}$
3. 1. ${\displaystyle \ b'(v)={\frac {7}{\cos ^{2}v}}-{\frac {1}{v}}+7\ v^{-12}-3}$${\displaystyle \qquad b(0{,}7)\approx -28{,}0\qquad b'(0{,}7)\approx 513}$
   2. ${\displaystyle \ v'(t)=\ t^{-{\frac {12}{5}}}-\cos t+t^{5}+t^{-2}\ }$${\displaystyle \qquad v(0{,}7)\approx -0{,}778\qquad v'(0{,}7)\approx -0{,}0694}$
   3. ${\displaystyle \ t'(b)=5\ e^{b}+{\frac {16}{5}}\ {\sqrt[{5}]{b}}-\sin b\quad }$${\displaystyle \qquad t(0{,}7)\approx -0{,}228\qquad t'(0{,}7)\approx -2{,}07}$
4. 1. ${\displaystyle \ b'(v)=5\cos d-{\frac {1}{d}}-{\frac {16}{5}}\ d^{-5}}$${\displaystyle \qquad b(-2)=\emptyset \qquad b'(-2)\approx 1{,}48}$
   2. ${\displaystyle \ v'(y)={-{\frac {3}{4}}}\ y^{-{\frac {10}{7}}}+\sin y+1+5\ t^{-6}\ }$${\displaystyle \qquad v(-2)\approx -6{,}75\qquad v'(-2)\approx -0{,}946}$
   3. ${\displaystyle \ t'(x)=5\ e^{x}+{}\ x^{-3}+{\frac {1}{\cos ^{2}x}}\quad }$${\displaystyle \qquad t(-2)\approx -0{,}621\qquad t'(-2)\approx -0{,}467}$

Weitere Ableitungsregeln

Ermittlung einer quadratischen Funktion

1. ${\displaystyle Q(x)={\frac {2}{3}}x^{2}-{\frac {8}{3}}x+7}$
2. ${\displaystyle Q(x)=-{\frac {4}{15}}x^{2}+{\frac {17}{3}}x-1}$
3. ${\displaystyle Q(x)=-{\frac {13}{10}}x^{2}+{\frac {28}{5}}x-1}$
4. ${\displaystyle Q(x)={\frac {-4\ x^{2}+32\ x-42}{3}}}$

Kurvendiskussion Anwendung

1. 1. Extrempunkte: ${\displaystyle (-2{,}29|-2{,}95),\ (2{,}29|4{,}95)}$
      Sattelpunkte: ${\displaystyle (0|1)}$
      Weitere Wendepunkte: ${\displaystyle (-4{,}0|-13{,}0),\ (-1{,}5|-1{,}31),\ (1{,}5|3{,}3),\ (4{,}0|11{,}0)}$
   2. Nullstellen: ${\displaystyle -3{,}03;\ -1{,}07;\ 3{,}24}$
   3. ${\displaystyle v(1{,}2)=2{,}34\quad v'(1{,}2)=2{,}76}$
   4. ${\displaystyle ]-4;-2{,}29[\ \rightarrow \ fallend,\quad }$${\displaystyle ]-2{,}29;0[\ \rightarrow \ steigend,\quad }$ ${\displaystyle ]0;2{,}29[\ \rightarrow \ steigend,\quad }$ ${\displaystyle ]2{,}29;4[\ \rightarrow \ fallend\quad }$
2. 1. Extrempunkte: ${\displaystyle (-1{,}81|2{,}79),\ (-0{,}81|0{,}36),\ (0{,}81|1{,}64),\ (1{,}81|-0{,}79)}$
      Sattelpunkte: keiner
      Wendepunkte: ${\displaystyle (-1{,}47|1{,}84),\ (0|1),\ (1{,}47|0{,}16)}$
   2. Nullstellen: ${\displaystyle 1{,}51;\ 2{,}05}$
   3. ${\displaystyle b(1{,}2)=1{,}16\quad b'(1{,}2)=-2{,}73}$
   4. ${\displaystyle ]-2;-1{,}81[\ \rightarrow \ steigend,\quad }$ ${\displaystyle ]-1{,}81;-0{,}81[\ \rightarrow \ fallend\quad }$${\displaystyle ]-0{,}81;0{,}81[\ \rightarrow \ steigend,\quad }$ ${\displaystyle ]0{,}81;1{,}81[\ \rightarrow \ fallend,\quad }$${\displaystyle ]1{,}81;2{,}5[\ \rightarrow \ steigend}$
3. 1. Extrempunkte: ${\displaystyle (0{,}35|-0{,}39),\ (2{,}12|0{,}90),\ (4{,}84|-0{,}79)}$
      Sattelpunkte: keiner
      Wendepunkte: ${\displaystyle (0{,}19|0{,}39),\ (1{,}40|0{,}27)}$
   2. Nullstellen: ${\displaystyle 0;\ 1;\ \pi$ ;\ 2\pi }
   3. ${\displaystyle b(1{,}2)=0{,}19\quad b'(1{,}2)=1{,}00}$
   4. ${\displaystyle ]-\infty ;0[\ \rightarrow \ nicht\ definierbar,\quad }$${\displaystyle ]0;0{,}35[\ \rightarrow \ fallend,\quad }$${\displaystyle ]0{,}35|2{,}12[\ \rightarrow \ steigend,\quad }$ ${\displaystyle ]2{,}12;4{,}84[\ \rightarrow \ fallend,\quad }$ ${\displaystyle ]4{,}84;7[\ \rightarrow \ steigend\quad }$
4. 1. Extrempunkte: ${\displaystyle (-1{,}01|2{,}20),\ (0{,}90|0{,}17)}$
      Sattelpunkte: Keiner
      Wendepunkte: ${\displaystyle (-0{,}56|1{,}72),\ (0{,}07|0{,}93),\ (0{,}46|0{,}52)}$
   2. Nullstellen: ${\displaystyle -1{,}56}$
   3. ${\displaystyle b(1{,}2)=0{,}56\quad b'(1{,}2)=3{,}12}$
   4. ${\displaystyle ]-\infty$ ;-1{,}01[\ \rightarrow \ steigend,\quad } ${\displaystyle ]-1{,}01;0{,}90[\ \rightarrow \ fallend,\quad }$ ${\displaystyle ]-0{,}90;+\infty [\ \rightarrow \ steigend}$
5. 1. Extrempunkte: ${\displaystyle (1{,}25|-0{,}69)}$
      Sattelpunkte: keiner
      Wendepunkte: ${\displaystyle (0{,}28|-0{,}44)}$
   2. Nullstellen: ${\displaystyle 2{,}47}$
   3. ${\displaystyle b(1{,}2)=-0{,}69\quad b'(1{,}2)=-0{,}04}$
   4. ${\displaystyle ]-\infty ;0[\ \rightarrow \ nicht\ definierbar,\quad }$ ${\displaystyle ]0;1{,}25[\ \rightarrow \ fallend,\quad }$ ${\displaystyle ]1{,}25;+\infty [\ \rightarrow \ steigend}$
6. 1. Extrempunkte: ${\displaystyle (0|0)}$
      Sattelpunkte: keiner
      Wendepunkte: ${\displaystyle (-2{,}53|-0{,}54),\ (-1{,}79|-0{,}58),\ (1{,}79|-0{,}58),\ (2{,}53|-0{,}54)}$
   2. Nullstellen: ${\displaystyle -3{,}17;\ -2{,}62;\ -1{,}94;\ -0{,}78;\ 0{,}78;\ 1{,}94;\ 2{,}62}$
   3. ${\displaystyle b(1{,}2)=3{,}08\quad b'(1{,}2)=33{,}16}$
   4. ${\displaystyle ]-\infty ;0[\ \rightarrow \ fallend,\quad }$ ${\displaystyle ]0;+\infty [\ \rightarrow \ steigend.\quad }$Die Funktion hat allerdings zahlreiche nicht definierbare Stellen.

Kurvendiskussion Maturaaufgaben

1. 1. Die Vagina-Temperatur am Anfang des Geschlechsverkehrs
   2. (ca.) nach 1,28 und nach 6,46 min
   3. ca. 42,23°C
   4. T'(t) = 0\ </math>setzen, also ${\displaystyle -{\tfrac {3}{8}}t^{2}+{\tfrac {5}{3}}t=0,\ }$dadurch bekommen wir eine Zeit ${\displaystyle t_{1},\ }$diesen Wert in die Gleichung ${\displaystyle T(t_{1})=-{\tfrac {1}{8}}t_{1}^{3}+{\tfrac {5}{6}}t_{1}^{2}+36{,}9\ }$einsetzen, dadurch berechnen wir die gefragte Temperatur: ca. 42,39°C
   5. 2, da die Ableitung der Funktion höchstens 2 Nullstellen haben kann
   6. Erste Ableitung: wie schnell sich die Temperatur in Bezug auf die Zeit ändert (Einheiten: °C/min)
   7. Mittlere Änderungsrate der Temperatur in Bezug auf die Zeit in den ersten 3 Minuten
   8. ca. 53,81°, Mittlere Änderungsrate der Temperatur in Bezug auf die Zeit in den ersten 3 Minuten
   9. das 5.
2. 1. ${\displaystyle -{\tfrac {20}{9}}\ h,\ }$Die erste Ableitung zeigt uns wie schnell sich die Temperatur ändert, um ihre Extremstellen zu finden, müssen wir ihre Ableitung (also die Ableitung der Ableitung, d.h. die 2. Ableitung) gleich Null setzen: ${\displaystyle g''(t)=0\ \rightarrow \ }$${\displaystyle -{\tfrac {3}{4}}t+-{\tfrac {5}{3}}=0}$
   2. 
   3. (ca.) [−3,72;5,09], also 1,37 s
   4. Wie schnell sich die Temperatur in °C in Bezug auf die Zeit in h nach 0,7 h ändert
   5. Zeitpunkt, an dem die Temperatur sich lokal am schnellsten oder langsamsten ändert
   6. 4. Grad
   7. 3, da ihre Ableitung höchstens 3 Nullstellen haben kann
   8. 
      
   9. ca. 31,77
3. 1. Schusshöhe
   2. ca. 1,55 m
   3. nach 3 m
   4. ca. 36,9°
   5. ja, ${\displaystyle \arctan \left({\tfrac {1{,}55-{\tfrac {3}{7}}}{3}}\right)\approx 20{,}5^{\circ }}$
   6. das 3.
   7. Die Kettenregel: ${\displaystyle P'(t)=-100\cdot b\cdot e^{-b\cdot t}}$
   8. Prozentsatz der Kugel, die gleich am Anfang geschossen wurden
   9. Gerade parallel zur x-Achse bei y=−0,5
4. 1. Höhenpegel in cm bei 0°C Temperatur
   2. 2 cm
   3. ${\displaystyle -1{,}62\ \ 0\ \ 0{,}62\ \ ^{\circ }C}$
   4. erst ${\displaystyle H'(T)=0\ }$setzen, also ${\displaystyle 3\ T^{2}+2\ T-1,\ }$dadurch bekommen wir eine Temperatur ${\displaystyle T_{1},\ }$diesen Wert in die Gleichung ${\displaystyle H(T_{1})=T_{1}^{3}+T_{1}^{2}-T_{1}+1\ }$einsetzen, dadurch berechnen wir den gefragten Pegel: 2 cm
   5. 2, da die Ableitung der Funktion höchstens 2 Nullstellen haben kann
   6. Erste Ableitung: wie schnell sich der Pegel in Bezug auf die Temperatur ändert (Einheiten: cm/°C)
   7. Mittlere Änderungsrate des Pegels in Bezug auf die Temperatur zwischen −1 und 1°C
   8. 45°, Mittlere Änderungsrate des Pegels in Bezug auf die Temperatur zwischen 0 und 1°C
   9. das 2.
5. 1. ${\displaystyle -{\tfrac {1}{3}}\ s,\ }$Beschleunigung ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit (g'(t)), um ihre Extremstellen zu finden, müssen wir ihre Ableitung (also die Ableitung der Ableitung, d.h. die 2. Ableitung der Geschwindigkeit) gleich Null setzen: ${\displaystyle g''(t)=0\ \rightarrow \ }$${\displaystyle 6t+2=0}$
   2. 
   3. (ca.) [−1,84;1], also 2,84 s
   4. Beschleunigung am 0,7-te Sekunde
   5. Zeitpunkt mit der kleinsten Beschleunigung
   6. 5. Grad
   7. 4, da ihre Ableitung höchstens 4 Nullstellen haben kann
   8. 
      
   9. −15,5
6. 1. Wert der Aktie in €, wenn niemand gekündigt wird
   2. 100: ca. 2 oder ca. 398 Kündigungen, 1000: ca. 21 oder ca. 379 Kündigungen
   3. 200 Kündigungen, 5017 €
   4. ca. 1,4°, wenn die Einheiten der Achsen 1:1 verhalten
   5. ja, ca. 87,7°
   6. das 4.
   7. Die Multiplikationsregel: ${\displaystyle w'(t)=-{\tfrac {10t}{t+1}}-10\ln(t+1)}$
   8. Wert am Anfang der Sitzung
   9. Gerade parallel zur x-Achse bei y=2