Mathematrix: AT BRP/ Prüfungsbeispiele/ Exponentialfunktion

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Theorie in Kürze (mit Geogebra)

$N(t)=N_{0}\cdot a^{t}$

N(t) ist die y-Achse (das y), t die x-Achse (das x). $N_{0}\$ ist der "Anfangswert", also der Wert der Funktion (y-Wert) da, wo x Null ist (y-Achsenabschnitt). Die Basis der Potenzzahl (das ist ein "Änderungsfaktor") kann man auch als "Prozentsatz" interpretieren, z.B. $N(t)=N_{0}\cdot 0{,}964^{t}$ bedeutet, dass bei jeder Änderung der x-Achse (z.B. t Zeit in Jahren) um 1 (z.B. jährlich) bleiben (0,964=) 96,4% des vorherigen Wertes, also 3,6% (100%−96,4%) weniger.

Extra Merkmal der Exponentialfunktion: Halbwertszeit: Nach der gleichen Änderung des x-Wertes wird der Wert der Funktion (y-Wert) immer halbiert. Im Bild: Am Anfang (also an der Stelle 0) ist der Wert der Funktion

N(0)=N_{0}\cdot a^{t}=8000\cdot a^{0}=8000\cdot 1=8000

, nach 3,5 auf der x-Achse (also an der Stelle 3,5) ist N(t) =N(3,5)=4000 (also die Hälfte), nach noch 3,5 auf der x-Achse (also an der Stelle 7) ist N(t) 2000 (also die Hälfte der Hälfte) usw.
Die Halbwertszeit kann man berechnen, indem man am Wert Funktion die Hälfte des Anfangswerts einsetzt, z.B.

2350=4700\cdot 0{,}9^{t}

(2350 ist die Hälfte von 4700) oder

0{,}5=0{,}6^{t}

(hier "fehlt" der Anfangswert, er ist also 1, und die Hälfte von 1 ist ja 0,5). Entsprechend für eine "Verdoppelungszeit" oder ähnliches:

2=0{,}7^{t}

,

7{,}6=3{,}8\cdot 0{,}9^{t}

usw.

Noch dazu: die Exponentialfunktion hat keine "Nullstellen": sie kommt immer näher zur x-Achse aber trifft diese nie!

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