Maxwell-Gleichungen

Im SI-System gilt:

Ampèresches Gesetz	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {j} }$
Induktionsgesetz Faradaysches Gesetz	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
Coulombsches Gesetz	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }$
Gaußsches Gesetz des Magnetismus	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
Elektrische Flussdichte	${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\,\mathbf {E} +\mathbf {P} }$
Magnetische Flussdichte	${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}\,(\mathbf {H} +\mathbf {M} )}$

Wobei ${\displaystyle \mathbf {H} }$ die magnetische Feldstärke, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ die magnetische Flussdichte, ${\displaystyle \mathbf {E} }$ das elektrische Feld, ${\displaystyle \mathbf {D} }$ die elektrische Flussdichte,${\displaystyle \mathbf {P} }$ die Polarisation, ${\displaystyle \mathbf {M} }$ die Magnetisierung, ${\displaystyle \mathbf {j} }$ die Stromdichte und ${\displaystyle \rho }$ die Ladungsdichte ist

Kontinuitätsgleichung

Für den stationären Fall gilt:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$

Ohmsches Gesetz

Für isotrope Medien mit der Leitfähigkeit ${\displaystyle \sigma }$ gilt:

${\displaystyle \mathbf {j} =\sigma \mathbf {E} }$

Potentiale

${\displaystyle \mathbf {A} }$ ist das Vektorpotential, mit dem man das ${\displaystyle \mathbf {B} }$-Feld berechnen kann.

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}r'}$

Mithilfe des skalaren Potentials ${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$, kann man auch das ${\displaystyle \mathbf {E} }$-Feld berechnen.

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \Phi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}r'}$

Induktion

Elektromagnetische Wellen

Um die inhomogene Wellengleichung zu lösen, benutzt man retardierende Potentiale. Man erhält dann folgendes: ${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ',t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}r'}$

${\displaystyle \Phi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {\rho } (\mathbf {r} ',t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}r'}$

Eichungen