Voraussetzung

Der Ring ${\displaystyle R\ }$ sei endlich und ein Integritätsbereich.

(Ein Integritätsbereich ist ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit Einselement ${\displaystyle 1\neq 0}$.)

Behauptung

${\displaystyle R\ }$ ist ein Körper.

Beweis 1 (kombinatorisch)

${\displaystyle a\ }$ sei ein Element des Ringes mit ${\displaystyle a\neq 0}$. Wir müssen zeigen, dass ${\displaystyle a\ }$ ein multiplikatives Inverses hat, denn alle anderen Körperaxiome sind in einem kommutativen Ring mit ${\displaystyle 1\ }$ schon erfüllt.

Dazu betrachten wir die Abbildung ${\displaystyle f\colon R\to R,\ x\mapsto ax}$ (Linksmultiplikation mit ${\displaystyle a\ }$) und zeigen, dass diese injektiv ist.

Seien daher zwei Elemente ${\displaystyle x,y\in R}$ mit ${\displaystyle f(x)=f(y)\ }$ gegeben. Das heißt ${\displaystyle ax=ay\ }$, also ${\displaystyle a(x-y)=0\ }$. Da ${\displaystyle R\ }$ nullteilerfrei und ${\displaystyle a\neq 0}$ ist, muss ${\displaystyle x-y=0\ }$ sein, also ${\displaystyle x=y\ }$. Damit ist f als injektiv nachgewiesen.

Eine injektive Funktion einer endlichen Menge in sich selbst ist auch surjektiv, also ist ${\displaystyle f\ }$ bijektiv. Die ${\displaystyle 1\ }$ hat also genau ein Urbild ${\displaystyle b\ }$ unter der Funktion ${\displaystyle f\ }$. Für dieses gilt ${\displaystyle f(b)=ab=1\ }$, es ist also das gesuchte inverse Element zu ${\displaystyle a\ }$ (wobei noch die Kommutativität des Ringes eingeht).

Beweis 2 (mit linearer Algebra)

Es sei ${\displaystyle K}$ das Bild des kanonischen Ringhomomorphismus ${\displaystyle \mathbb {Z} \to R}$; ${\displaystyle K}$ ist ein endlicher Körper, und ${\displaystyle R}$ ist eine ${\displaystyle K}$-Algebra.

Wie im ersten Beweis betrachten wir die Linksmultiplikation mit einem Element ${\displaystyle a\in R}$,

${\displaystyle x\mapsto ax,}$

und wie im ersten Beweis folgt die Injektivität dieser Abbildung. Sie ist ein ${\displaystyle K}$-linearer Endomorphismus des endlichdimensionalen Vektorraumes ${\displaystyle R}$, nach der Dimensionsformel also auch surjektiv. Das weitere Vorgehen ist wie in Beweis 1.

Beweis 3 (mit Körpertheorie)

${\displaystyle K}$ sei wie in Beweis 2, und es sei ${\displaystyle L}$ der Quotientenkörper von ${\displaystyle R}$. ${\displaystyle L}$ ist eine endliche, also algebraische Erweiterung von ${\displaystyle K}$. Für jedes Element ${\displaystyle a\in R}$ ist ${\displaystyle K(a)\subseteq R}$ eine Körpererweiterung von ${\displaystyle K}$, insbesondere ist ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle K(a)}$ und damit in ${\displaystyle R}$ invertierbar.

Beweis 4 (mit kommutativer Algebra)

Endliche Ringe sind artinsch, und artinsche Integritätsbereiche sind Körper.