Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente

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Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel

Moduln: freie Moduln sind projektiv

Satz

Seien ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle n,m\geq 1}$ sowie ${\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ und ${\displaystyle L:K^{n}\to K^{m}}$ linear: Dann existiert eine ${\displaystyle m\times n}$-Matrix ${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$ mit ${\displaystyle L(x)=Ax}$ für alle ${\displaystyle x\in K^{n}}$.

Beweis

Sei ${\displaystyle L}$ entsprechend der obigen Definition gegeben und sei ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ die kanonische Basis des ${\displaystyle K^{n}}$. Dann definiere die ${\displaystyle i}$-te Spalte von ${\displaystyle A}$ durch ${\displaystyle Ae_{i}:=Le_{i}}$ für ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$. Sei nun ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}\in K^{n}}$. Dann gilt mit den Rechenregeln für Matrizen:

${\displaystyle {\begin{aligned}L(x)&=L(x_{1}e_{1}+\ldots +x_{n}e_{n})=L(x_{1}e_{1})+\ldots +L(x_{n}e_{n})\\&=x_{1}L(e_{1})+\ldots +x_{n}L(e_{n})=x_{1}Ae_{1}+\ldots +x_{n}Ae_{n}\\&=A(x_{1}e_{1})+\ldots +A(x_{n}e_{n})=A(x_{1}e_{1}+\ldots +x_{n}e_{n})\\&=Ax\\\end{aligned}}}$.

${\displaystyle \Box }$