Voraussetzung

${\displaystyle G\ }$ sei eine beliebige Halbgruppe mit Neutralelement ${\displaystyle 1\ }$. Für jedes Element ${\displaystyle x\in G}$ gelte ${\displaystyle x^{2}=1\ }$.

Behauptung

${\displaystyle G\ }$ ist eine abelsche Gruppe.

Beweis

1. Wegen ${\displaystyle xx=1\ }$ hat jedes Element ${\displaystyle x\in G}$ ein inverses Element (nämlich sich selbst). Damit ist ${\displaystyle G\ }$ als Gruppe erkannt.
2. Seien ${\displaystyle x,y\in G}$ beliebig. Wir müssen ${\displaystyle xy=yx\ }$ nachweisen, und dazu rechnen wir:
   ${\displaystyle xy=x1y=x(xy)^{2}y=xxyxyy=1yx1=yx\ }$.
   Dabei wird für das 2. und das 4. Gleichheitszeichen die Voraussetzung benutzt.